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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Berechnung lokal. Extrema
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Berechnung lokal. Extrema: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:58 Fr 23.03.2018
Autor: mka

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Funktion f:R2−→R definiert durch
$ [mm] f(x,y)=-x^2-y^2+xy^2-5x-6y+42 [/mm] $
lokale Extrema besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an. Besitzt f ein globales Extremum?

Hallo,

ich versuche gerade diese Aufgabe zu berechnen, nur leider komme ich bei der Berechnung der Nullstellen nicht weiter.

Was ich bisher gerechnet habe:
1. $ [mm] fx(x,y)=-2x+y^2-5 [/mm] $
2. $ fy(x,y)= -2y+2xy-6 $

$ H(f)(x,y)= [mm] \pmat{ -2 & 2y \\ 2y & 2x-2 } [/mm] $
$ det = [mm] -2(-2+2x)-(2y)^2=4-4x-4y^2 [/mm] $

$ J(f)(x,y)=(0,0)$

Hier habe ich die 2. Funktion genommen und erstmal umgeformt.
Was mich aber verwirrt ist die -6. Bisher hatte ich das immer ohne zusätzliche Konstanten gerechnet.
$ -2y+2xy-6=0 $
$  y(-1+x)-6=0 $

Hier hätte ich nun durch hinschauen einfach gesagt, dass die Nullstellen y=1 und x=7 ist.
Ist das so machbar? Ich bin mir unsicher, weil auch y=6 und x=2 zu einer Null führen würde.

Danke für die Hilfe.


        
Bezug
Berechnung lokal. Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Fr 23.03.2018
Autor: fred97

Wir haben also die Gleichungen


(1) $ [mm] 0=-2x+y^2-5 [/mm] $

(2) $ 0= -2y+2xy-6 $

Wir multiplizieen (1) mit y und bekommen

(3) [mm] 0=-2xy+y^3-5y$ [/mm]

Löst man (2) nach 2xy auf und setzt das in (3) ein, so ergibt sich

(4)  [mm] y^3-7y-6=0. [/mm]

Eine Lösung der letzten Gleichung kann man erraten: y=-1. Durch Polynomdivision erhält man nun die weiteren Lösungen von (4): y=-2 und y=3.

Mit Gleichung (1) ergeben sich nun drei stationäre Punkte von f.

Bezug
                
Bezug
Berechnung lokal. Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:36 Sa 24.03.2018
Autor: mka

Danke sehr.
Ich habe folgende Nullstellen rausbekommen: $(-2,-1), [mm] (-\bruch{1}{2},-2), [/mm] (2,3)$
(-2,-1) ist ein lokales Maximum und die anderen beiden keine lokalen Extrema.

Ich habe nun auch den Teil mit den globalen Extrema ausgerechnet, aber ich bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist:

$ [mm] f(1,y)=-1-1+y^2-5-6y+42\to \infty [/mm] $ Kein globales Maximum (Unter dem Pfeil soll  [mm] $y\to-\infty$ [/mm] stehen).

[mm] $f(-1,y)=-1-1-y^2+5-6y+42\to -\infty$ [/mm] Kein globales Minimum (Und hier [mm] $y\to\infty$) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Berechnung lokal. Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Sa 24.03.2018
Autor: fred97


> Danke sehr.
>  Ich habe folgende Nullstellen rausbekommen: [mm](-2,-1), (-\bruch{1}{2},-2), (2,3)[/mm]
>  
> (-2,-1) ist ein lokales Maximum und die anderen beiden
> keine lokalen Extrema.
>  
> Ich habe nun auch den Teil mit den globalen Extrema
> ausgerechnet, aber ich bin mir nicht sicher, ob das so
> richtig ist:
>  
> [mm]f(1,y)=-1-1+y^2-5-6y+42\to \infty[/mm] Kein globales Maximum
> (Unter dem Pfeil soll  [mm]y\to-\infty[/mm] stehen).
>  
> [mm]f(-1,y)=-1-1-y^2+5-6y+42\to -\infty[/mm] Kein globales Minimum
> (Und hier [mm]y\to\infty[/mm])


Alles  bestens

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