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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Berechnung v. Lagrange
Berechnung v. Lagrange < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung v. Lagrange: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:00 Do 20.12.2007
Autor: anmu

Aufgabe
Lösen Sie mithilfe des Lagrange-Verfahrens:

[mm]f(x_1, x_2)[/mm]= [mm](10*\wurzel{x_1}+20*\wurzel{x_2})^2[/mm] --> max!

NB: [mm]x_1[/mm]+[mm]x_2[/mm]=500

Verzichten Sie auf die Prüfung der hinreichenden Bedingung!

Hallo zusammen,

mein Problem bei dieser Aufgabenstellung ist, dass ich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nicht ausrechnen kann. Laut Lösung sollte [mm]x_1[/mm]=100 und [mm]x_2[/mm]=400 ergeben.
Zuerst habe ich die binomische Formel ausgerechnet und dann damit die Lagrangefunktion aufgestellt. Dies und die Ableitungen habe ich soweit alle hinbekommen. Wenn ich auflöse, dann bekomme ich z.B. für [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm] +[mm]\bruch{3}{2}[/mm]*[mm]x_1^\bruch{1}{2} *x_2^\bruch{1}{2}[/mm] heraus. Wenn ich dies, dann in meine NB einsetze, habe ich wieder beide Variablen enthalten. Bekomme also keine Zahl als [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]- Wert heraus. Wie kann ich hier weiterrechnen?

Ich hoffe jemand erkennt mein Problem bzw. meine Fehler und kann mir weiterhelfen!

Ich hänge immer an dieser Stelle fest. Vielen Dank jedenfalls im Voraus für die Mühe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Viele Grüße
anmu

        
Bezug
Berechnung v. Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Do 20.12.2007
Autor: Martin243

Hallo,

setze doch mal deine Nebenbedingung in die Gleichung ein. Dann kannst du doch mit [mm] $x_1=500-x_2$ [/mm] eine Variable ersetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen.


Gruß
Martin

Bezug
                
Bezug
Berechnung v. Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:38 Do 20.12.2007
Autor: anmu

Hallo Martin,

erstmals danke für deine Hilfe, allerdings habe ich jetzt in meine [mm]x_2 = ...[/mm] Gleichung deinen Vorschlag eingesetzt, dann bekomme ich eine quadratische Gleichung, wenn ich diese auflöse, erhalte ich für [mm]x_2[/mm] Werte von 820,19.. und 304,80.. :-)
Ich glaube, ich verzweifel bald an dieser Aufgabe :-)..



Bezug
                        
Bezug
Berechnung v. Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Do 20.12.2007
Autor: Martin243

Hallo,

vielleicht vertust du dich irgendwo beim Ausrechnen. Also nochmal von vorne:
$f(x,y) = [mm] (10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2$ [/mm] (lassen wir mal so stehen)
$g(x,y) = x + y - 500$
[mm] $\Lambda(x,y,\lambda) [/mm] = f(x,y) + [mm] \lambda{}g(x,y)$ [/mm]

Nun leiten wir ab:
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}x} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = [mm] \bruch{100(\wurzel{x} + 2\wurzel{y})}{\wurzel{x}} [/mm] + [mm] \lambda$ [/mm]
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}y} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = [mm] \bruch{200(\wurzel{x} + 2\wurzel{y})}{\wurzel{y}} [/mm] + [mm] \lambda$ [/mm]
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}\lambda} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}\lambda} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = x + y - 500$

Nun rechne mal [mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}x} [/mm] - [mm] \bruch{\partial\Lambda}{\partial{}y}$ [/mm] aus und ersetze dort $x$ oder $y$ durch die obige Beziehung. Dann musst du nur noch die Nullstelle des Zählers suchen und bist fertig.


Gruß
Martin

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Berechnung v. Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Do 20.12.2007
Autor: anmu

Vielen, vielen Dank für deine Mühe!! :-)
Ich werde jetzt mal deinen Ansatz versuchen!

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