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Berechnung von Wkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Fr 12.05.2017
Autor: Trajan

Aufgabe
In einem Labor wird eine gefährliche Chemikalie aufbewahrt. Im Falle eines Unfalls gibt es [mm] k\in\IN\[/mm] Sicherheitssysteme, um die Chemikalie zu neutralisieren. Alle funktionieren unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit [mm] p\in\(0,1)[/mm]. In einem Jahr gibt es N Unfälle.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im nächsten Jahr die Chemikalie in die Umwelt gelangt, falls:
i) N konstant ist
ii) N Poisson(10)-verteilt ist.
b) Sei N konstant und X die Anzahl der Male, dass die Chemikalie im nächsten Jahr in die Umwelt gelangt. Berechnen Sie die Verteilung von X.

Mein Problem ist zunächst mit der a) i). Offenbar soll N eine konstante Zufallsvariable darstellen. Da N somit nur genau einen Wert c annimmt, müsste es meiner Ansicht nach so sein, dass die Chemikalie mit Wahrscheinlichkeit
[mm]c \* (1-p)^k[/mm]
im nächsten Jahr in die Umwelt gelangt, denn es gibt insgesamt c Unfälle und bei jedem Unfall beträgt doch die Wahrscheinlichkeit, dass alle Sicherheitssysteme versagen [mm] (1-p)^k [/mm].

Habe ich hier einen Denkfehler gemacht oder ist das wirklich so einfach?
  
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Berechnung von Wkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Sa 13.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Habe ich hier einen Denkfehler gemacht oder ist das
> wirklich so einfach?

ich wollte dir zuerst schreiben "ja, es ist so einfach"… dann fiel mir aber auf: Das kann so gar nicht stimmen.

Du sollst ja eine Wahrscheinlichkeit bestimmen, nun ist deine "Lösung" [mm] $c(1-p)^k$. [/mm] Was passiert mit dem Ausdruck falls $c$ beliebig groß wird?
Kann dies dann noch eine Wahrscheinlichkeit sein?

Für die Lösung: Du hast dir ja bereits überlegt, dass ein Unfall mit der Wahrscheinlichkeit $q = [mm] (1-p)^k$ [/mm] nicht bemerkt wird. D.h. ein Unfall wird mit Wahrscheinlichkeit q nicht bemerkt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass zwei,drei,…,N Unfälle nicht bemerkt werden?

Gruß,
Gono

Bezug
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