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Berührung einer Geraden: Ansatzfindung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 10.09.2012
Autor: Lewser

Aufgabe
y=b*ln(a*x)

a und b sollen so dimensioniert werden, dass sie die Gerade y=x im Punkt P (2;2) berührt.

Mir fehlt ein Ansatz zu dieser Aufgabe. Ich kann mir grafisch vorstellen, wie das Gebilde aussieht. Leider hört es damit schon auf. Hat jemand einen Hinweis?

        
Bezug
Berührung einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mo 10.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> y=b*ln(a*x)
>  
> a und b sollen so dimensioniert werden, dass sie die Gerade
> y=x im Punkt P (2;2) berührt.
>  Mir fehlt ein Ansatz zu dieser Aufgabe. Ich kann mir
> grafisch vorstellen, wie das Gebilde aussieht. Leider hört
> es damit schon auf. Hat jemand einen Hinweis?

Der Punkt [mm]P[/mm] ist Punkt des Graphen von [mm]f[/mm] mit [mm]f(x)=b\ln(ax)[/mm], also [mm]f(2)=2[/mm]

Weiter ist die Steigung in diesem Punkt wie groß?

Damit hast du deine 2.te Bestimmungsgleichung und kannst [mm]a,b[/mm] bestimmen.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Berührung einer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Mo 10.09.2012
Autor: Lewser

Also würde gelten 2=b*ln(2a) und die Steigung wäre die 1. Ableitung von y=b*ln(a*x).

Das wäre, wenn ich mich nicht verrechnet habe, [mm] f'(x)=\bruch{b}{a}. [/mm]

Dann könnte ich erneut den Punkt P einsetzen und hätte b=2a.

Das könnte ich in die Stammfunktion einsetzen und muss peinlich berührt fragen, wie ich 2=2a*ln(2a) nach a auflösen kann, sofern mein Gedankengang überhaupt richtig ist und ich mich beim Ableiten nicht verrechnet habe.
Kann das jemand überprüfen und mir erneut einen Hinweis geben?

Bezug
                        
Bezug
Berührung einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mo 10.09.2012
Autor: fred97


> Also würde gelten 2=b*ln(2a) und die Steigung wäre die 1.
> Ableitung von y=b*ln(a*x).
>  
> Das wäre, wenn ich mich nicht verrechnet habe,
> [mm]f'(x)=\bruch{b}{a}.[/mm]

nein.  [mm][mm] f'(x)=\bruch{b}{x} [/mm]


>  
> Dann könnte ich erneut den Punkt P einsetzen und hätte
> b=2a.

Nein. Da der Graph von f die Gerade mit der Gl y=x in (2,2) berührt, ist

           f'(2)=1, also 1=b/2

>  
> Das könnte ich in die Stammfunktion einsetzen und muss
> peinlich berührt fragen, wie ich 2=2a*ln(2a) nach a
> auflösen kann, sofern mein Gedankengang überhaupt richtig
> ist und ich mich beim Ableiten nicht verrechnet habe.
>  Kann das jemand überprüfen und mir erneut einen Hinweis
> geben?

Der Graph von f und die Gerade mit der Gl. gehen durch (2,2), also ist

                    f(2)=2,

somit:  2=b*ln(2a).

Wegen b=2 folgt: 2=2*ln(2a) oder: ln(2a)=1

Jetzt löse nach a auf

FRED


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Bezug
Berührung einer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Mo 10.09.2012
Autor: Lewser

Wo ist mein Fehler bei der Ableitung?

Ich habe b stehengelassen, da es eine Konstante ist. die Ableitung von ln(ax) ist innere mal äussere Ableitung:
[mm] x*\bruch{1}{ax} [/mm] und somit [mm] y'=b*\bruch{x}{ax} [/mm] also [mm] y'=\bruch{b}{a} [/mm] ... wo ist mein Fehler?

Und woher kommt f'(2)=1 ?

Tut mir leid, ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.

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Bezug
Berührung einer Geraden: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Mo 10.09.2012
Autor: Loddar

Hallo Lewser!


Beginnen wir mit der letzten Frage: was ist denn die Ableitung von $g(x) \ = \ x$ ?
Dann sollte auch klar sein, wo das $f'(2) \ = \ g'(2) \ [mm] \red{= \ 1}$ [/mm] herkommt.


Zu der Ableitung: Du leitest doch nach der Variablen $x_$ ab. Somit ergibt sich mittels MBKettenregel:

$f'(x) \ =\ [mm] b*\bruch{1}{a*x}*a [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{x}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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Berührung einer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Mo 10.09.2012
Autor: Lewser

Oh man ... doppeltes "aua".

Dass x abgeleitet 1 ist sollte einem klar sein, nur leider wird das nie passieren, wenn an im Kopf eine 2 stehen hat, weil man vorher schon Werte eingesetzt hat.
Und zu meinem anderen Fehler. Ja, tatsächlich sollte ich nach x ableiten und nicht nach a.

Vielen Dank euch allen!

Bezug
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