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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:49 Do 21/01/2016
Author: Mathics

Aufgabe
Sei f(x) eine stetige Funktion mit dem beschränkten aber nicht abgeschlosse- nen Definitionsbereich D. Welche Aussage ist richtig?

Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Die Funktion kann ein globales Randmaximum und ein globales Randminimum besitzen.

Hallo,

die Lösung lautet WAHR.

Ich verstehe aber nicht so ganz wieso.

Am besten frage ich mal so:

Angenommen wir haben eine Funktion x +y = 10  mit x > 0 und > 0

Der Definitionsbereich ist hier beschränkt, da man z.B. für x nicht unendlich einsetzen kann. Für y übrigens auch nicht. Es ist aber nicht abgeschlossen, da die Randpunkte nicht mitgezählt werden. x und y erreichen also nie Null.

Angenommen wir haben jetzt die Funktion x +y < 10 mit x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0.
Wieder ist der Definitionsbereich beschränkt. Ist er aber jetzt abgeschlossen oder nicht? Die Randpunkte, also die Nullen können ja erreicht werden, aber bei x + y < 10 , wird die 10 nicht erreicht. Zählt dies auch in die Beurteilung, ob der Definitionsbereich abgeschlossen ist oder nicht? Gibt es in diesem Beispiel ein globales Maximum und Minimum?

Danke!

LG
Mathics

        
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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:05 Do 21/01/2016
Author: Gonozal_IX

Hiho,

edit: Du hast ein y in deiner Frage vergessen, das beeinflusst natürlich auch die Antwort, also nochmal:

> x +y = 10  mit x > 0 und y> 0

> Der Definitionsbereich ist hier beschränkt, da man z.B. für x nicht unendlich einsetzen kann. Für y übrigens auch nicht. Es ist aber nicht abgeschlossen, da die Randpunkte nicht mitgezählt werden. x und y erreichen also nie Null.

Erstmal: Der Definitionsbereich ist beschränkt, da sowohl x als auch y durch 10 beschränkt sind!
Du kannst die Menge auch als Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] sehen und besteht die Menge genau aus den Elementenmit nichtnegativen Komponenten und Betrag 10.
Insbesondere ist der Betrag der Elemente also durch 10 beschränkt, damit ist die Menge beschränkt.

>  Es ist aber nicht abgeschlossen

doch!
Wann ist eine Menge denn abgeschlossen?

Gruß,
Gono

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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:16 Do 21/01/2016
Author: Mathics

Also wir haben gelernt, dass der Definitionsbereich unbeschränkt ist, wenn man für x oder y weder + unendlich noch - unendlich einsetzen kann.

Um aus unserem Skript zu zitieren "Ein Intervall ist beschra ̈nkt, wenn links und rechts des Intervalles Schranken angeben kann, in die das Intervall reinpasst. Anders formuliert: Ein unbeschra ̈nktes Intervall wa ̈re eines, bei welchem wir am rechten oder linken Intervallrand ein plus oder minus unendlich stehen haben."

Und das ist bei  x+y = 10 mit x>0 und y>0 ja eindeutig der Fall.

Wieso soll das jetzt falsch sein?

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:26 Do 21/01/2016
Author: fred97

Wenn x>0, y>0  und x+y=10, so folgt

0 <x <x+y = 10,

also 0 <x < 10.

Genauso haben wir 0 <y <10

Fred

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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:02 Do 21/01/2016
Author: Mathics

Genau, also ist der Definitionsbereich beschränkt, oder?

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:44 Fr 22/01/2016
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Genau, also ist der Definitionsbereich beschränkt, oder?

ja.

Gruß,
Gono


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:19 Do 21/01/2016
Author: Mathics

Da bei einer offenen Menge die Randpunkte nicht dazugehören, kann man sagen: eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihre Randpunkte dazugeho ̈ren.
Ein abgeschlossenes Intervall ist ein Intervall der Form [a, b]. Ein offenes Intervall wäre dann (a, b). Da wir x >0 und y >0 haben, ist D nicht abgeschlossen. Da zudem gilt aber auch gilt x +y = 10, ist es D auch nicht offen.

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:31 Fr 22/01/2016
Author: korbinian

Hallo
> Da bei einer offenen Menge die Randpunkte nicht
> dazugehören, kann man sagen: eine Menge ist abgeschlossen,
> wenn ihre Randpunkte dazugeho ̈ren.

Hier scheint mir die Diskussion falsch zu laufen: das Gegenteil von offen ist nicht abgeschlossen; es gibt doch z.B. auch halboffene Intervalle.
Gruß korbinian


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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:30 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Sei f(x) eine stetige Funktion mit dem beschränkten aber
> nicht abgeschlosse- nen Definitionsbereich D. Welche
> Aussage ist richtig?
>
> Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Die Funktion
> kann ein globales Randmaximum und ein globales Randminimum
> besitzen.
>  Hallo,
>  
> die Lösung lautet WAHR.
>  


Die Aufgabenstellung ist doch total bescheuert ! Wenn D nicht abgeschlossen ist, gibt es Randpunkte, die nicht zu D, dem Definitionsbereich von f,  gehören. Was soll dann ein "Randmaximum" bzw. "Randminimum"  von f sein ???

Auch das Wort "kann" in

    "Die Funktion kann ......"

ist befremdlich !

FRED

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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:15 Fr 22/01/2016
Author: korbinian

Hallo Fred,
bis auf die doppelte Fragestellung

> > Welche Aussage ist richtig?
> > Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Die Funktion
> > kann ein globales Randmaximum und ein globales Randminimum
> > besitzen.

finde ich die Aufgabe nicht bescheuert.
Da es doch Mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen sind, können doch Randpunkte zu D gehören und dort ein Randextremum einer Funktion vorliegen. Da dies vermutlich nicht bei jeder Funktion der Fall sein wird, halte ich die Frage "kann es sein" doch für korrekt gestellt.
Gruß korbinian

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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:00 Fr 22/01/2016
Author: Mathics

Bei der Funktion

x+y < 10 mit x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0

haben wir doch jetzt einen beschränkten und nicht abgeschlossenen (auch nicht offenen) Definitionsbereich.

Das Randminimum wäre doch bei (0,0) oder? Wo liegt dann das Randmaximum?

LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:09 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Bei der Funktion
>  
> x+y < 10 mit x [mm]\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0

Von welcher Funktion redest Du denn ???????

FRED


>  
> haben wir doch jetzt einen beschränkten und nicht
> abgeschlossenen (auch nicht offenen) Definitionsbereich.
>  
> Das Randminimum wäre doch bei (0,0) oder? Wo liegt dann
> das Randmaximum?
>
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:15 Fr 22/01/2016
Author: Mathics

Sei

S = [mm] \{(x;y) \in \IR^{2} : x+y < 10 ; x,y \ge 0 \} [/mm]

Dies ist doch eine beschränkte und nicht abgeschlossene Menge.

Ist das Randminimum bei (0,0) ?

Gibt es hier ein Randmaximum? Nein, oder? Weil die 10 bei x+y nie erreicht wird?

LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:36 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Sei
>  
> S = [mm]\{(x;y) \in \IR^{2} : x+y < 10 ; x,y \ge 0 \}[/mm]
>  
> Dies ist doch eine beschränkte und nicht abgeschlossene
> Menge.

Ja.

Warum schreibst Du plötzlich S und nicht, wie in der Aufgabenstellung, D ?


>  
> Ist das Randminimum bei (0,0) ?

Minimum von was ?????


>  
> Gibt es hier ein Randmaximum?

Maximum von was ????

Es ist in der Aufgabenstellung die Rede von einer Funktion f mit dem Definitionsbereich D.

Welches f betrachtest Du. Das hast Du seit gestern verschwiegen !

FRED

> Nein, oder? Weil die 10 bei
> x+y nie erreicht wird?
>  
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:16 Fr 22/01/2016
Author: Mathics

Oh, ich glaube ich habe etwas grundsätzliches falsch verstanden.

Das was ich als S bezeichnet habe bzw. speziell das x+y < 10 ist auch Teil der Menge.

Ich wollte eigentlich sagen, dass meine Funktion f(x) = x+y ist.
Kann eine Funktion eigentlich auch [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] beinhalten, oder ist es immer = ?
Meine Frage klingt jetzt bestimmt unmathematisch, aber ist eine Ungleichung auch eine Funktion?

(0,0) wäre dann  das das Randminimum der Funktion f(x) = x+y mit dem Definitionsbereich x+y < 10 ; x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0. Es existiert aber kein Randmaximum oder?


LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:25 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Oh, ich glaube ich habe etwas grundsätzliches falsch
> verstanden.
>  
> Das was ich als S bezeichnet habe bzw. speziell das x+y <
> 10 ist auch Teil der Menge.
>
> Ich wollte eigentlich sagen, dass meine Funktion f(x) = x+y
> ist.

Hmmmmh ..... Soll f eine Funktion von einer Variablen oder von 2 Variablen sein ???

Wenn von 2, dann so: f(x,y)=x+y


> Kann eine Funktion eigentlich auch [mm]\le[/mm] oder [mm]\ge[/mm] beinhalten,

Nein.


> oder ist es immer = ?

Ja


>  Meine Frage klingt jetzt bestimmt unmathematisch, aber ist
> eine Ungleichung auch eine Funktion?

Nein


>  
> (0,0) wäre dann  das das Randminimum der Funktion f(x) =
> x+y mit dem Definitionsbereich x+y < 10 ; x [mm]\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm]
> 0. Es existiert aber kein Randmaximum oder?

Ja, wenn f(x,y)=x+y gemeint ist.

FRED

>  
>
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:37 Fr 22/01/2016
Author: Mathics

Dann würde ich gerne mal ein Beispiel nennen, das bestätigt, dass die Aussage wahr ist.

f(x,y) = x + y

mit x+y [mm] \le [/mm] 10 ; 0 [mm] \le [/mm] x < 10 ; 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 10

Die Funktion ist stetig. Der Definitionsbereich ist beschränkt und nicht abgeschlossen.

Es existiert ein Randminimum in (0,0) und ein Randmaximum in (0,10)

Alles richtig?


LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:51 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Dann würde ich gerne mal ein Beispiel nennen, das
> bestätigt, dass die Aussage wahr ist.
>  
> f(x,y) = x + y
>  
> mit x+y [mm]\le[/mm] 10 ; 0 [mm]\le[/mm] x < 10 ; 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 10
>  
> Die Funktion ist stetig. Der Definitionsbereich ist
> beschränkt und nicht abgeschlossen.
>  
> Es existiert ein Randminimum in (0,0) und ein Randmaximum
> in (0,10)
>  
> Alles richtig?

Ja

FRED

>  
>
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:48 Sa 06/02/2016
Author: Mathics

Hallo,

ich habe gerade die Frage zum Üben noch einmal wiederholt und mir ist aufgefallen, dass eine Funktion f(x) und nicht f(x,y) vorausgesetzt wird.

Wie würde denn ein Beispiel lauten, in dem f(x) stetig ist, mit beschränktem aber nicht abgeschlossenen Definitionsbereich und einem globalen Randmaximum sowie einem globalen Randminimum?

Mir selbst ist bisher kein Beispiel eingefallen :(

LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:40 Sa 06/02/2016
Author: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe gerade die Frage zum Üben noch einmal wiederholt
> und mir ist aufgefallen, dass eine Funktion f(x) und nicht
> f(x,y) vorausgesetzt wird.
>  
> Wie würde denn ein Beispiel lauten, in dem f(x) stetig
> ist, mit beschränktem aber nicht abgeschlossenen
> Definitionsbereich und einem globalen Randmaximum sowie
> einem globalen Randminimum?
>  
> Mir selbst ist bisher kein Beispiel eingefallen :(

Vor 15 Tagen(!) hier:

http://matheraum.de/read?i=1070370

FRED

>  
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:05 Sa 06/02/2016
Author: Mathics

Hallo Fred,

ich würde ganz gerne nochmal überprüfen, ob ich das richtig verstanden habe:

Du schreibst ja:

Sei D $ [mm] \subseteq \IR [/mm] $ beschränkt und nicht abgeschlossen und $ f:D [mm] \to \IR [/mm] $ stetig

Ist dagegen $ D=[0,1) $, so hat D genau einen Randpunkt, der zu D gehört, nämlich 0.  Wie muss nun f notwendigerweise beschaffen sein, wenn f in 0 ein globales Maximum und ein globales Minimum haben soll ? Bingo: f muss konstant sein !


Meinst du also z.b. eine konstante Funktion wie f(x) = 5 ?

An jeder Stelle in dem Definitionsbereich D=[0,1) ist der Funktionswert 5. Wir haben innerhalb von D quasi unendliche viele globale Maxima und Minima und da nur ein Randpunkt undzwar x=0 existiert haben wir EIN globales Maximum und gleichzeitig EIN globales Minimum.

Habe ich das so richtig verstanden?


Was meinst du in deinem Beitrag genau mit:

Wo ging die Stetigkeit von f ein ? Nirgendwo !

Meinst du, dass die Stetigkeit von f keine Rolle spielt?


Konstante Funktionen sind dann der einzige Fall, bei dem die Behauptung aus der Aufgabe zutrifft, oder?


Vielen Dank!

LG
Mathics

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Beschränkt und abgeschlossen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:45 Sa 06/02/2016
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  
> ich würde ganz gerne nochmal überprüfen, ob ich das
> richtig verstanden habe:
>  
> Du schreibst ja:
>  
> Sei D [mm]\subseteq \IR[/mm] beschränkt und nicht abgeschlossen und
> [mm]f:D \to \IR[/mm] stetig
>
> Ist dagegen [mm]D=[0,1) [/mm], so hat D genau einen Randpunkt, der
> zu D gehört, nämlich 0.  Wie muss nun f notwendigerweise
> beschaffen sein, wenn f in 0 ein globales Maximum und ein
> globales Minimum haben soll ? Bingo: f muss konstant sein
> !
>  
> Meinst du also z.b. eine konstante Funktion wie f(x) = 5 ?

Ja


>  
> An jeder Stelle in dem Definitionsbereich D=[0,1) ist der
> Funktionswert 5. Wir haben innerhalb von D quasi unendliche
> viele globale Maxima und Minima und da nur ein Randpunkt
> undzwar x=0 existiert haben wir EIN globales Maximum und
> gleichzeitig EIN globales Minimum.
>  
> Habe ich das so richtig verstanden?

Ja


>  
>
> Was meinst du in deinem Beitrag genau mit:
>  
> Wo ging die Stetigkeit von f ein ? Nirgendwo !
>  
> Meinst du, dass die Stetigkeit von f keine Rolle spielt?

Ja


>  
>
> Konstante Funktionen sind dann der einzige Fall, bei dem
> die Behauptung aus der Aufgabe zutrifft, oder?

Ja, wenn D=[0,1).

FRED

>  
>
> Vielen Dank!
>  
> LG
>  Mathics


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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:08 Fr 22/01/2016
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  bis auf die doppelte Fragestellung
> > > Welche Aussage ist richtig?
> > > Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Die Funktion
> > > kann ein globales Randmaximum und ein globales Randminimum
> > > besitzen.
>  finde ich die Aufgabe nicht bescheuert.
> Da es doch Mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen
> sind, können doch Randpunkte zu D gehören und dort ein
> Randextremum einer Funktion vorliegen. Da dies vermutlich
> nicht bei jeder Funktion der Fall sein wird, halte ich die
> Frage "kann es sein" doch für korrekt gestellt.
>  Gruß korbinian


Ich störe mich an der Formulierung:

   "Kann die Funktion ein globales Randmaximum und ein globales Randminimum besitzen. "



Sei D [mm] \subseteq \IR [/mm] beschränkt und nicht abgeschlossen und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] stetig.

Wenn man jetzt fragt, ob f ein globales Randmaximum und(!) ein globales Randminimum besitzen kann (beachte das "und"), so kann ich nur sagen:

   das hängt von D ab !

Ist zum Beispiel $D=(0,1)$, so ist die Frage sinnlos, denn D hat keine Randpunkte, die zu D, dem Definitionsbereich von f, gehören.

Ist dagegen $D=[0,1)$, so hat D genau einen Randpunkt, der zu D gehört, nämlich 0.  Wie muss nun f notwendigerweise beschaffen sein, wenn f in 0 ein globales Maximum und ein globales Minimum haben soll ? Bingo: f muss konstant sein ! Wo ging die Stetigkeit von f ein ? Nirgendwo !

Gruß FRED

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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:59 Fr 22/01/2016
Author: korbinian

Hallo Fred,
verstehe deine Kritik jetzt besser; ärgere mich auch oft fürchterlich über unsauber formulierte Aufgaben. Andrerseits ist es manchmal sehr schwer eine Aufgabe "wasserdicht" zu formulieren, vor allem wenn der Text nicht unmöglich lang (auch keine saubere Formulierung) und somit  unübersichtlich werden soll.
Gruß korbinian

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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:14 Fr 22/01/2016
Author: fred97

Ich hätte die Aufgabe so formuliert:

Gib eine Teilmenge $D$ von [mm] \IR [/mm] und eine stetige Funktion $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] an mit den folgenden Eigenschaften:

(1) D ist beschränkt, aber nicht abgeschlossen;

(2) $D [mm] \cap \partial [/mm] D [mm] \ne \emptyset$; [/mm]

und

(3) es existieren  $u,v [mm] \in [/mm] D [mm] \cap \partial [/mm] D $ mit $f(u) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(v)$ für alle $x [mm] \in [/mm] D$.

Gruß FRED

Bezug
                                                
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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:10 Fr 22/01/2016
Author: korbinian

Hallo Fred,
vielen Dank für deine Formulierung.
Ich hätte nicht so viel "verraten" und an ein D [mm] \subset \IR^2 [/mm] gedacht.
Aber das ist wohl die Quittung für die schlampige Aufgabenstellung.

Gruß korbinan

PS: Der neueste Schrei in der Mathe-Didaktik (Bayern) ist "offene Aufgabenstellung". Ich fürchte, wir sehen hier was daraus wird. Na, viel Spaß!

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Beschränkt und abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:43 Fr 22/01/2016
Author: abakus


>  
> PS: Der neueste Schrei in der Mathe-Didaktik (Bayern) ist
> "offene Aufgabenstellung". Ich fürchte, wir sehen hier was
> daraus wird. Na, viel Spaß!

Auch außerhalb von Bayern gibt es genügend didaktische Quacksalber,  die auf dieser Schiene gegen klar formulierte Aufgaben arbeiten.

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