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Beschränkte lin. Abbildungen: Heuser Ana2: 112.8, 112.11
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Fr 04.03.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
$E$, $F$ normierte Räume, [mm]A: E \mapsto F[/mm] linear.

Aufgabe 8:
$A$ ist genau dann beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Menge beschränkt ist.

Aufgabe 11:
$A$ besitze die Eigenschaft, dass das Bild jeder beschränkten Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] eine konvergente Teilfolge enthält. Zeige, dass $A$ beschränkt und somit stetig ist.

Lösung zu 11, nach Heuser: Wäre $A$ unbeschränkt, so gäbe es eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $\parallel x_n \parallel [/mm] = 1$ und [mm] $\parallel [/mm] A [mm] x_n \parallel \to \infty$. [/mm] Sie müsste eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})$ [/mm] enthalten, so dass $(A [mm] x_{n_k})$ [/mm] konvergiert, also beschränkt ist - in Widerspruch zu [mm] $\parallel [/mm] A [mm] x_{n_k} \parallel \to \infty$. [/mm]

Hallo,

zunächst einmal bin ich ahnungslos, wieso meine Formeln nicht geparst werden. Vlt. ist das aber auch nur in der Vorschau so, und es kommt gleich richtig, andernfalls hoffe ich, man kann es trotzdem lesen.

Zur Frage:

Aufgabe 8: Ich finde keinen Ansatz. Wie könnte ich da ran gehen?

Lösung zu Aufgabe 11: Verstehe ich nicht. Wieso ist es gewiss, dass es eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $\parallel x_n \parallel [/mm] = 1$ und [mm] $\parallel [/mm] A [mm] x_n \parallel \to \infty$ [/mm] gibt? Der Rest ist dann klar.

Vielen Dank schon einmal im Vorfeld für jede Hilfe.
Und ich hoffe, das mit den Formeln klappt.

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Beschränkte lin. Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Fr 04.03.2016
Autor: fred97


> [mm]E[/mm], [mm]F[/mm] normierte Räume, [mm]A: E \mapsto F[/mm] linear.
>  
> Aufgabe 8:
>  [mm]A[/mm] ist genau dann beschränkt, wenn das Bild jeder
> beschränkten Menge beschränkt ist.
>  
> Aufgabe 11:
>  [mm]A[/mm] besitze die Eigenschaft, dass das Bild jeder
> beschränkten Folge [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> enthält. Zeige, dass [mm]A[/mm] beschränkt und somit stetig ist.
>  
> Lösung zu 11, nach Heuser: Wäre [mm]A[/mm] unbeschränkt, so gäbe
> es eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]\parallel x_n \parallel = 1[/mm] und
> [mm]\parallel A x_n \parallel \to \infty[/mm]. Sie müsste eine
> Teilfolge [mm](x_{n_k})[/mm] enthalten, so dass [mm](A x_{n_k})[/mm]
> konvergiert, also beschränkt ist - in Widerspruch zu
> [mm]\parallel A x_{n_k} \parallel \to \infty[/mm].
>  Hallo,
>  
> zunächst einmal bin ich ahnungslos, wieso meine Formeln
> nicht geparst werden. Vlt. ist das aber auch nur in der
> Vorschau so, und es kommt gleich richtig, andernfalls hoffe
> ich, man kann es trotzdem lesen.

Ich kann es lesen ...., auch wenn die Formeln nicht richtig dargestellt werden.

>  
> Zur Frage:
>  
> Aufgabe 8: Ich finde keinen Ansatz. Wie könnte ich da ran
> gehen?
>
> Lösung zu Aufgabe 11: Verstehe ich nicht. Wieso ist es
> gewiss, dass es eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]\parallel x_n \parallel = 1[/mm]
> und [mm]\parallel A x_n \parallel \to \infty[/mm] gibt? Der Rest ist
> dann klar.
>  
> Vielen Dank schon einmal im Vorfeld für jede Hilfe.
>  Und ich hoffe, das mit den Formeln klappt.
>  
> Gruß,
>  Sandro


Sei [mm] K:=\{x \in E: ||x|| \le 1\} [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel in E.

A beschränkt bedeutet: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit

(1)  $||Ax|| [mm] \le [/mm] c||x||$  für alle x [mm] \in [/mm] E.

Mach Dir klar, dass gilt: A ist beschränkt  [mm] \gdw [/mm] es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit

(2)  $||Ax|| [mm] \le [/mm] c $  für alle x [mm] \in [/mm] K.

Mach Dir weiter klar, dass gilt:  A ist beschränkt  [mm] \gdw [/mm] es gibt ein c' [mm] \ge [/mm] 0 mit

(2')  $||Ax|| [mm] \le [/mm] c' $  für alle x [mm] \in [/mm] E mit $||x||=1.$

Aus (2) folgt:  

(3) A ist beschränkt  [mm] \gdw [/mm] A(K) ist beschränkt.


Zu Aufgabe 8:

" [mm] \Rightarrow": [/mm] mit einem c [mm] \ge [/mm] 0 gelte also (1). Nun sei M eine beschränkte Teilmenge von E. Dann gibt es ein [mm] \beta \ge [/mm] 0 mit

    $||x|| [mm] \le \beta [/mm] $  für alle x [mm] \in [/mm] M.

zeige nun:   $||y|| [mm] \le [/mm] c * [mm] \beta [/mm] $  für alle y [mm] \in [/mm] A(M).

[mm] "\Leftarrow": [/mm]  wenn das Bild jeder  beschränkten Menge beschränkt ist, so ist A(K) beschränkt. Nun bemühe (3).


Zu Aufgabe 11:  dazu überlegen wir uns, was es bedeutet, dass A nicht beschränkt ist. Nämlich das:

    für kein(!) c' [mm] \ge [/mm] 0 gilt (2').

Insbesondere bedeutet das:  ist n [mm] \in \IN, [/mm] so gilt

     $||Ax|| [mm] \le [/mm] n $  

nicht(!) für alle x [mm] \in [/mm] E mit ||x||=1.

Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es also ein [mm] x_n \in [/mm] E mit [mm] ||x_n||=1 [/mm] und [mm] ||Ax_n|| [/mm] >n.

Es gilt also [mm] $||Ax_n|| \to \infty$ [/mm]  für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

Gruß FRED


Bezug
                
Bezug
Beschränkte lin. Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Fr 04.03.2016
Autor: sandroid

Wie immer, $Vielen Dank!$.

Bezug
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