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Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 21.11.2016
Autor: steve.joke

Aufgabe
Gegeben sei die Kurvenschar

[mm] K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}. [/mm]

Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für welches a?

Hallo,

habe ich gerade einen Denkfehler oder kann man gar kein  a  findne, weil ja die erste Ableitung der Funktion gar keinen Hochpunkt hat?

Also [mm] K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x} [/mm]

Diese Funktion sollte keinen Hochpunkt haben, egal welches a ich einsetze?

Wie löst man dann die Aufgabe?

VG

        
Bezug
Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mo 21.11.2016
Autor: Chris84


> Gegeben sei die Kurvenschar
>
> [mm]K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}.[/mm]
>  
> Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für
> welches a?
>  Hallo,

Huhu,

>  
> habe ich gerade einen Denkfehler oder kann man gar kein  a  
> findne, weil ja die erste Ableitung der Funktion gar keinen
> Hochpunkt hat?
>  
> Also [mm]K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x}[/mm]
>  
> Diese Funktion sollte keinen Hochpunkt haben, egal welches
> a ich einsetze?
>  
> Wie löst man dann die Aufgabe?
>  
> VG

Naja, die Geschwindigkeit soll 5 sein, also [mm] K_a'(x) [/mm] = 5.

Die zweite Information ist, dass es sich um die groesste Geschwindigkeit handelt, nicht [mm] $K_a$ [/mm] soll maximal werden, sondern [mm] $K_a'$. [/mm] Hilft das?

Gruss,
Chris

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Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mo 21.11.2016
Autor: steve.joke

Hiii,

ja ok, wenn [mm] K_a'(x) [/mm] maximal werden soll, heißt das doch, [mm] K_a''(x)=-40a^2\cdot e^{-ax}=0 [/mm]

Aber diese Funktion hat doch gar keine Nullstelle :-/

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Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Mi 23.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Diese Aufgabe ist wie schon von einigen anderen gesagt, etwas unglücklich gestellt.

Also mal ganz von Beginn an:
Du hast [mm] K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x} [/mm]

Damit gilt
[mm] K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x} [/mm]
und
[mm] K_a''(x)=-40a^{2}\cdot e^{-a\cdot x} [/mm]

Du suchst nun das x, für das [mm] K_{a}'(x)=5 [/mm]

Also gilt:
[mm] 40a\cdot e^{-a\cdot x}=5 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow e^{-ax}=\frac{1}{8a} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow -ax=\ln\left(\frac{1}{8a}\right) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8a}\right)}{a} [/mm]

Nennen wir diese Funktion mal f(a)

Nun soll das ganze dann (in Abhängigkeit von a) ein Hochpunkt sein, also muss gelten
f'(a)=0 und f''(a)<0

Nun gilt ja:
[mm] f'(a)=\frac{-1}{8a^{2}}\cdot\frac{-1}{\frac{1}{8a}}=\frac{1}{a} [/mm]
und damit

[mm] f''(a)=-\frac{1}{a^{2}} [/mm]
Und das ist für alle a größer als Null, das bedeuet, die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt ist automatisch erfüllt.

Der allgemeine Hochpunkt dieser Funktion [mm] f(a)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8a}\right)}{a} [/mm] hat also die a-Koordinate  [mm] \frac{1}{a} [/mm] und nimmt daher den Wert
[mm] f'\left(\frac{1}{a}\right)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8\cdot\frac{1}{a}}\right)}{a}=-\frac{\ln\left(\frac{a}{8}\right)}{a} [/mm] an

Marius

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Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 21.11.2016
Autor: rubi

Hallo,

du hast Recht, die Ableitung wird nicht Null - trotzdem gibt es ein Maximum.
Zeichne mal für verschiedene a-Werte das Schaubild von [mm] K_a. [/mm]
Wo ist die Kurve am steilsten (also wo wird die Ableitung maximal ?)
Stichwort: Randmaximum

Grüße
Rubi

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Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 21.11.2016
Autor: steve.joke

Komme immer noch nicht weiter. Was sind denn die Randwerte ??  0 und ..?

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Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 Mo 21.11.2016
Autor: steve.joke

Ok. Jetzt habe ich es glaube ich. a müsste 0.125 sein, richtig? Die Steigung ist nämlich immer bei x=0 am steilsten. Danach wird es ja immer flacher.



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Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:52 Di 22.11.2016
Autor: HJKweseleit

Bei x=-1 ist es noch steiler. Wer verbietet x=-1?

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Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Di 22.11.2016
Autor: steve.joke

Ok, ist es x=0, wenn man [mm] x\ge [/mm] 0 vorgibt.


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Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 23.11.2016
Autor: HJKweseleit

Das stand aber nicht in deiner ursprünglichen Aufgabenstellung. Du könntest ja jetzt auch noch [mm] x\le [/mm] 7 eingeben.

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Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Mi 23.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo
> Komme immer noch nicht weiter. Was sind denn die Randwerte
> ?? 0 und ..?

Wenn du in der Aufgabe nicht irgendwelche Einschränkungen hast, sind die Randwerte [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$, [/mm] denn [mm] K_{a}(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x} [/mm] hat mathematisch gesehen keine Einschränkungen bezüglich der Variablen a und x.

Marius

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Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Di 22.11.2016
Autor: HJKweseleit


> Gegeben sei die Kurvenschar
>
> [mm]K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}.[/mm]
>  
> Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für
> welches a?

Die Aufgabe ist unklar gestellt. Randwerte existieren nicht, weil der Bereich nicht eingeschränkt wird. Sie Aufgabe gibt nur auf folgende Weise einen Sinn:

Wenn man zu verschiedenen a die Wachstumsgeschwindigkeit (sprich: Steigung des Graphen) berechnet und an einer bestimmten, festen Stelle x die verschiedenen Wachstumsgeschwindigkeiten zu verschiedenen a-s betrachtet, ist eine davon am größten. Für welches a ist das der Fall? Bei welchem a ist dieser höchste Wert dann 5?


Zur Kontrolle: An der Stelle x hat der Graph mit a=1/x die höchste Steigung. Wenn a=e/8 ist, Ist dieser Wert genau 5.




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