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Forum "Diskrete Optimierung" - Beschränktheit polyedr. Mengen
Beschränktheit polyedr. Mengen < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beschränktheit polyedr. Mengen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mo 25.11.2013
Autor: riju

Aufgabe
Die konvexe polyedrische Menge M={x ∈ ℝ^n  : Ax ≤ b} sei nichtleer, und das homogene lineare Ungleichungssystem Ax≤0 besitze eine nichttriviale (vom Nullvektor verschiedene) Lösung. Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt ist.

Ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. Hat jemand ein Denkanstoß?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mo 25.11.2013
Autor: fred97


> Die konvexe polyedrische Menge M={x ∈ ℝ^n  : Ax ≤ b}
> sei nichtleer, und das homogene lineare Ungleichungssystem
> Ax≤0 besitze eine nichttriviale (vom Nullvektor
> verschiedene) Lösung. Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt
> ist.
>  Ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. Hat
> jemand ein Denkanstoß?

Da M nicht leer ist, ex. ein [mm] u_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] u_0 \in [/mm] M.

Weiter gibt es ein [mm] v_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] v_0 \ne [/mm] 0 und [mm] Av_0 \le [/mm] 0.

Nun betrachte für t [mm] \in \IR [/mm] den Vektor

     [mm] x(t)=u_0+tv_0. [/mm]

Zeige:

    x(t) [mm] \in [/mm] M für jedes (!) t [mm] \in \IR. [/mm]

Edit: es fehlte noch: t [mm] \ge [/mm] 0.

Folgere daraus, dass M nicht beschränkt ist.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Mo 25.11.2013
Autor: riju

Also ich hab das jetzt irgendwie so:

zu Zeigen. A(u+tv)≤b

A(u+tv)=Au+tAv, da Au≤b und Av≤b gilt auch  Au+tAv≤b

Reicht das als Nachweis? Da kann ich jetzt sehen, das M nicht beschränkt ist?

Bezug
                        
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Mo 25.11.2013
Autor: fred97


> Also ich hab das jetzt irgendwie so:
>  
> zu Zeigen. A(u+tv)≤b
>  
> A(u+tv)=Au+tAv, da Au≤b und Av≤b gilt auch  Au+tAv≤b

???

Ich hab mich oben verschrieben. Korrekt lautet es so:

   x(t) $ [mm] \in [/mm] $ M für jedes (!) t $ [mm] \in \IR$ [/mm] mit $ t [mm] \ge [/mm] 0 $

Es ist [mm] Au_0 \le [/mm] b und [mm] tAv_0 \le [/mm] 0   für jedes t [mm] \ge [/mm] 0.


Damit ist Ax(t) [mm] \le [/mm] b für jedes t [mm] \ge [/mm] 0.


>  
> Reicht das als Nachweis? Da kann ich jetzt sehen, das M
> nicht beschränkt ist?


Die Teilmenge [mm] \{x(t): t \ge 0 \} [/mm] von M ist nicht beschränkt. Zeige das noch !

FRED


Bezug
                                
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Mo 25.11.2013
Autor: riju

Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Also wenn t=0, ist x(t)=u0 also ist es nach unten beschränkt, oder?
Aber da t nach oben keine Begrenzung hat, ist x(t) nach oben unbeschränkt oder?

Somit wäre die Teilmenge unbeschränkt, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mo 25.11.2013
Autor: fred97


> Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach
> unten beschränkt ist.

Das ist doch Unfug !!!  Du bist im [mm] \IR^n [/mm] !

Ist M eine Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] so ist M beschränkt : [mm] \gdw [/mm] es ex. ein c>0 mit

    ||x|| [mm] \le [/mm] c   für alle x [mm] \in [/mm] M,

dabei ist ||*|| die Euklidnorm (oder eine andere Norm auf [mm] \IR^n, [/mm] welche, ist schnuppe)

>  
> Also wenn t=0, ist x(t)=u0 also ist es nach unten
> beschränkt, oder?

Quatsch !


>  Aber da t nach oben keine Begrenzung hat, ist x(t) nach
> oben unbeschränkt oder?


Na ja.....

Versuche zu zeigen:

||x(t)|| [mm] \ge t||v_0||-||u_0|| [/mm]   für alle t [mm] \ge [/mm] 0.

FRED

>  
> Somit wäre die Teilmenge unbeschränkt, oder?


Bezug
                                                
Bezug
Beschränktheit polyedr. Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Mo 25.11.2013
Autor: riju

Danke schön

Bezug
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