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Forum "Funktionalanalysis" - Bessel Ungleichung
Bessel Ungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bessel Ungleichung: Fourieranalysis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Mo 02.05.2016
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Zeige, dass [mm] $\sum_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\frac{1}{k^2}e^{2\pi ikx}$ [/mm] in [mm] $L^2[0,1]$ [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert! (Tipp: Verwende Bessel's Ungleichung)

Wenn ich die Reihe mit $f(x)$ bezeichne, dann gilt nach der Bessel'schen Ungleichung [mm] $\sum_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\frac{1}{k^4}\le\parallel f(x)\parallel=\int_{0}^{1}|f(x)|^2\,dx$. [/mm] Aber wie kann man daraus die Konvergenz der Reihe zeigen?

        
Bezug
Bessel Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mo 02.05.2016
Autor: fred97


> Zeige, dass
> [mm]\sum_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\frac{1}{k^2}e^{2\pi ikx}[/mm] in
> [mm]L^2[0,1][/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert! (Tipp:
> Verwende Bessel's Ungleichung)
>  Wenn ich die Reihe mit [mm]f(x)[/mm] bezeichne, dann gilt nach der
> Bessel'schen Ungleichung
> [mm]\sum_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\frac{1}{k^4}\le\parallel f(x)\parallel=\int_{0}^{1}|f(x)|^2\,dx[/mm].
> Aber wie kann man daraus die Konvergenz der Reihe zeigen?


Setzen wir

   [mm] u_k(x):=e^{2\pi ikx} [/mm]

für x [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IZ. [/mm]

Dann ist [mm] \{u_k:k \in \IZ\} [/mm] eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes  [mm]L^2[0,1][/mm]

für jedes  [mm]f \in L^2[0,1][/mm] gilt also

    [mm] f=\summe_{k \in \IZ}^{}u_k [/mm]

im Sinne der [mm] L_2 [/mm] - Norm.

Finde also ein  [mm]f \in L^2[0,1][/mm] derart, dass für die Fourierkoeffizienten von f gilt:

    [mm] =0 [/mm]  und [mm] = \bruch{1}{k^2} [/mm]  für k [mm] \ne [/mm] 0.

FRED

Bezug
                
Bezug
Bessel Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mo 02.05.2016
Autor: mathestudent222

Danke für deine Antwort, das ist mir klar! Ich verstehe allerdings nicht, was das mit der Bessel'schen Ungleichung zu tun haben soll? Und angenommen, ich möchte die Funktion $f$ gar nicht finden, sondern lediglich die Konvergenz dieser Reihe im [mm] $L^2[0,1]$ [/mm] zeigen - ist da die Ungleichung vl. eine Hilfe?

Bezug
                        
Bezug
Bessel Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mo 02.05.2016
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort, das ist mir klar! Ich verstehe
> allerdings nicht, was das mit der Bessel'schen Ungleichung
> zu tun haben soll? Und angenommen, ich möchte die Funktion
> [mm]f[/mm] gar nicht finden,


Laut Aufgabenstellung sollst Du das aber ....


>  sondern lediglich die Konvergenz dieser
> Reihe im [mm]L^2[0,1][/mm] zeigen - ist da die Ungleichung vl. eine
> Hilfe?

Das sehe ich (noch) nicht. Du kannst es aber so machen:

die Funktionen [mm] u_k [/mm] seien wie oben. Setze

    [mm] s_n:=\summe_{|k| \le n}^{}\bruch{1}{k^2}u_k [/mm]

Zeige: für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit m>n ist, mit der [mm] L_2- [/mm] Norm [mm] ||*||_2, [/mm]

  [mm] ||s_m-s_n||_2=||\summe_{n<|k| \le m}^{}\bruch{1}{k^2}u_k||_2 \le \summe_{n<|k| \le m}^{}\bruch{1}{k^2}. [/mm]

Da die Reihe [mm] \summe_{k \in \IZ , k \ne 0}^{}\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert, ist also [mm] (s_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] L^2[0,1]. [/mm] Da dieser Raum vollständig ist, konvergiert [mm] (s_n) [/mm] in diesem Raum.


Damit ist die Reihe [mm] \summe_{k \in \IZ, k \ne 0}^{}\bruch{1}{k^2}u_k [/mm] in  [mm] L^2[0,1] [/mm] konvergent.

FRED

Bezug
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