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Bestimmen Sie alle Einheiten: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Di 12.04.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Betrachtet wird der Integritätsring [mm] \IZ[\wurzel[2]{-5}]. [/mm] Bestimmen Sie alle Einheiten in [mm] \IZ[\wurzel[2]{-5}]. [/mm]

Hat jemand ein Tipp für mich wie ich anfangen soll?

Definition der einzelnen Begriffe:

[mm] \IZ[\wurzel[2]{-5}]=: [/mm] a+bi : a,b [mm] \in [/mm] R

Für eine Einheit muss gelten a|1

Ein Intigritätsring R ist ein komm. nullteilerfreier Ring mit 1

Aber wie bestimme ich nun die Einheiten?

Vielen Dank im Voraus

DerPinguinagent

        
Bezug
Bestimmen Sie alle Einheiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Di 12.04.2016
Autor: fred97


> Betrachtet wird der Integritätsring [mm]\IZ[\wurzel[2]{-5}].[/mm]
> Bestimmen Sie alle Einheiten in [mm]\IZ[\wurzel[2]{-5}].[/mm]
>  Hat jemand ein Tipp für mich wie ich anfangen soll?
>  
> Definition der einzelnen Begriffe:
>  
> [mm]\IZ[\wurzel[2]{-5}]=:[/mm] a+bi : a,b [mm]\in[/mm] R

Das stimmt doch nicht. Richtig:

[mm] \IZ[\wurzel{-5}]=\{a+b \wurzel{-5}: a, b \in \IZ\}. [/mm]


>  
> Für eine Einheit muss gelten a|1
>
> Ein Intigritätsring R ist ein komm. nullteilerfreier Ring
> mit 1
>  
> Aber wie bestimme ich nun die Einheiten?

Sei $a+b [mm] \wurzel{-5}$ [/mm]  eine Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{-5}], [/mm] so gibt es ein $c+d [mm] \wurzel{-5} \in \IZ[\wurzel{-5}]$ [/mm] mit

  $(a+b [mm] \wurzel{-5})(c+d \wurzel{-5} [/mm] )=1$

Hilft das weiter ?

FRED

>  
> Vielen Dank im Voraus
>
> DerPinguinagent  


Bezug
                
Bezug
Bestimmen Sie alle Einheiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Di 12.04.2016
Autor: DerPinguinagent

Demzufolge muss ja a=-+1 b=0 c=+-1 und d=0 sein also ist 1 und -1 sowie i und -i eine Einheit. Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Bestimmen Sie alle Einheiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mi 13.04.2016
Autor: meili

Hallo,

> Demzufolge muss ja a=-+1 b=0 c=+-1 und d=0 sein also ist 1
> und -1 sowie i und -i eine Einheit. Richtig?

1 und -1 sind richtig.

Gilt $ i [mm] \in \IZ[\wurzel[2]{-5}]$ [/mm] oder $- i [mm] \in \IZ[\wurzel[2]{-5}]$? [/mm]
a,b,c,d sind aus [mm] $\IZ$! [/mm]

Gruß
meili

Bezug
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