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Bestimmtes Integral berechnen: Integral divergiert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Sa 27.01.2018
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich soll folgendes Integral berechnen:

[mm] \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx [/mm]

Als Stammfunktion habe ich [mm] -\frac{1}{x}, [/mm] was laut meinem Taschenrechner auch richtig ist.

Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich [mm] (-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2. [/mm]

Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral divergieren würde.

Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2 raus [haee]

Wo ist denn hier mein Fehler?

Danke schonmal.

VG Nadine

        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Sa 27.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo Nadine,

dein Integrand hat eine Polstelle im Integrationsgebiet, damit handelt es sich hier formal um ein uneigentliches Riemann-Integral. Du musst das Integral also an der fraglichen Stelle in zwei einzelne Integrale aufsplitten und diese berechnen. Nur wenn beide Einzelintegrale konvergieren, tut es das gesamte auch.

Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear

Hallo Gono!



> Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?



Also ich habe dann:

[mm] $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] + [mm] \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx$ [/mm]

Das erste Integral ist dann:

[mm] $\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{-1}^{z} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{-1}^{z} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{z}+1] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]

Das zweite Integral ist dann:

[mm] $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{z}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{z}^{1} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-1+\frac{1}{z}] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]



Ist das so richtig?

Und damit ist das Integral divergent?



VG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 03.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte [mm] \{-\infty,\infty\} [/mm] divergent.

Je nachdem, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe gestellt wurde, würde ich bei den Grenzwerten noch auf eine der üblichen Arten dazuschreiben, aus welcher Richtung z gegen Null strebt(auch wenn das aus dem Kontext heraus natürlich klar ist).


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear


> Hallo,
>  
> deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein
> Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte
> [mm]\{-\infty,\infty\}[/mm] divergent.

Danke :-)


Bezug
        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 27.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo zusammen!

>

> Ich soll folgendes Integral berechnen:

>

> [mm]\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx[/mm]

>

Man sieht hier mal wieder schön, warum es wichtig ist, Aufgabentexte im Originalwortlaut anzugeben. Wer hat dir gesagt, dass du 'das Integral berechnen sollst'? Niemand vermutlich, die Aufgabensstellng lautet sicherlich irgendwie anders.

Betrachten wir für 0<z<1 das Integral

[mm] \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}=- \frac{1}{x}\bigg|_z^1=\frac{1}{z}-1[/mm]

Der Grenzwert dieses Integrals für z->0 ist

[mm] \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}} \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}= \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}}\left(\frac{1}{z}-1\right)=\infty[/mm]


Also ist die rechte Seite des Integrals divergent und wegen der Achsensymmetrie des Integranden das gesamte Integral. Die Anweisung, man 'solle' dieses Integral berechnen, ist also sinnlos.

> Als Stammfunktion habe ich [mm]-\frac{1}{x},[/mm] was laut meinem
> Taschenrechner auch richtig ist.

Dazu sollte man keinen Taschenrechner benötigen!

> Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich
> [mm](-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2.[/mm]

>

Das wurde schon gesagt, aber noch nicht von jedem. ;-) Was du hier machst, ist nicht erlaubt: du integrierst über einem Intervall, das Definitionslücken des Integranden enthält.

> Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral
> divergieren würde.

>

> Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2
> raus [haee]

>

> Wo ist denn hier mein Fehler?

Da hast du noch ziemliche Lücken im Verständnis des Konzepts der Integration!


Gruß, Diophant

Bezug
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