matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteBestimmung des Quadriktyps
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Bestimmung des Quadriktyps
Bestimmung des Quadriktyps < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bestimmung des Quadriktyps: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Di 15.03.2016
Autor: capron02

Aufgabe
Bestimmen Sie den Quadriktyp für [mm] $\vec{x}^T [/mm] A [mm] \vec [/mm] x=0$

$$
[mm] A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix} [/mm]
$$

Lösungsidee:

Aus dem Skript ist folgende Liste mit Quadriktypen gegeben:

________________________________________________________________________________________
| 1) Ellipsoidoberfläche: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] + [mm] \gamma z^2=1,\,\alpha,\beta,\gamma>0$ [/mm]
| 2) Hyperboloidoberfläche, einschalig: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] = [mm] \gamma z^2+1,\,\alpha,\beta,\gamma>0$ [/mm]
|   Hyperboloidoberfläche, zweischalig: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] +1= [mm] \gamma z^2,\,\alpha,\beta,\gamma>0$ [/mm]
| 3) Paraboloidoberfläche: [mm] $z=\alpha x^2+\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0$ [/mm]
| 4) hyperbolisches Paraboloid (Fläche): [mm] $z=\alpha x^2-\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0$ [/mm]
| 5) Zylinderoberfläche - elliptischer Zylinder: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0$ [/mm]
| 6) hyperbolischer Zylinder: [mm] $\alpha x^2-\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0$ [/mm]
| 7) Doppelebene: [mm] $\alpha x^2=\beta y^2,\,\alpha,\beta,>0$ [/mm]
________________________________________________________________________________________

Leider stehen zur Liste keine weiteren Erklärungen bezüglich der Bedeutung von [mm] $\alpha,\beta,\gamma$. [/mm]

Soweit ich das korrekt verstanden habe, kommt es bei der Typbestimmung nur auf die Vorzeichen
der Eigenwerte an, also wie viele davon positiv, negativ, Null sind. Mir ist allerdings nicht
klar, inwiefern ich die Liste dann nutzen kann.

Ausmultipliziert sollte ich ja folgendes ergeben:
[mm] $-x^2-y^2-2z^2+4xz+2yz=0$ [/mm]

Im Skript ist folgendes Beispiel gegeben:


[mm] $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 2\\ 3 & 2 & 30 \\ \end{pmatrix}$$ [/mm]

ist positiv definit, weil

$$det(1)=1>0,

[mm] det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=1>0, [/mm]

[mm] det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 2\\ 3 & 2 & 30 \\ \end{pmatrix}=5>0$$ [/mm]

Folgerung: Die Quadrik [mm] $x^2 [/mm] + [mm] 5y^2 [/mm] + [mm] 30z^2 [/mm] + 4xy + 6xz + 4yz = 1$
           stellt eine Ellipsoidoberfläche dar.


Scheinbar wurde hier das Jacobi-Kriterium für positive Definitheit benutzt,
womit man prüfen kann, ob alle Eigenwerte positiv sind, aber ich verstehe
nicht, wie sich das auf die obige Liste beziehen lässt, vor allem auf [mm] $\alpha,\beta,\gamma$. [/mm]

Auf die obige Aufgabe bezogen sollte sich für die Unterdeterminanten folgendes ergeben:

$$det(-1)=-1<0,

[mm] det\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}=1>0, [/mm]

[mm] det\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}=3>0$$ [/mm]


Jetzt weiß ich nur, dass die Matrix nicht positiv definit ist.
Indefinitheit oder negative Definitheit könnte man noch überprüfen...

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmung des Quadriktyps: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Di 15.03.2016
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie den Quadriktyp für [mm]\vec{x}^T A \vec{x}=0[/mm]
>
> [mm][/mm]
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> [mm][/mm]
>  
> Lösungsidee:
>  
> Aus dem Skript ist folgende Liste mit Quadriktypen
> gegeben:
>  
> ________________________________________________________________________________________
>  | 1) Ellipsoidoberfläche: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 + \gamma z^2=1,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>  
> | 2) Hyperboloidoberfläche, einschalig: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 = \gamma z^2+1,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>  
> |   Hyperboloidoberfläche, zweischalig: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 +1= \gamma z^2,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>  
> | 3) Paraboloidoberfläche: [mm]z=\alpha x^2+\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>  
> | 4) hyperbolisches Paraboloid (Fläche): [mm]z=\alpha x^2-\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>  
> | 5) Zylinderoberfläche - elliptischer Zylinder: [mm]\alpha x^2+\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>  
> | 6) hyperbolischer Zylinder: [mm]\alpha x^2-\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>  
> | 7) Doppelebene: [mm]\alpha x^2=\beta y^2,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>  
> ________________________________________________________________________________________
>  
> Leider stehen zur Liste keine weiteren Erklärungen
> bezüglich der Bedeutung von [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm].
>  
> Soweit ich das korrekt verstanden habe, kommt es bei der
> Typbestimmung nur auf die Vorzeichen
>  der Eigenwerte an, also wie viele davon positiv, negativ,
> Null sind. Mir ist allerdings nicht
> klar, inwiefern ich die Liste dann nutzen kann.
>  
> Ausmultipliziert sollte ich ja folgendes ergeben:
>  [mm]-x^2-y^2-2z^2+4xz+2yz=0[/mm]
>  
> Im Skript ist folgendes Beispiel gegeben:
>
>
> [mm][/mm][mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 2\\ 3 & 2 & 30 \\ \end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
>  
> ist positiv definit, weil
>  
> [mm][/mm]det(1)=1>0,
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=1>0,[/mm]
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 2\\ 3 & 2 & 30 \\ \end{pmatrix}=5>0[/mm][mm][/mm]
>  
> Folgerung: Die Quadrik [mm]x^2 + 5y^2 + 30z^2 + 4xy + 6xz + 4yz = 1[/mm]
>  
>            stellt eine Ellipsoidoberfläche dar.
>  
>
> Scheinbar wurde hier das Jacobi-Kriterium für positive
> Definitheit benutzt,
>  womit man prüfen kann, ob alle Eigenwerte positiv sind,
> aber ich verstehe
> nicht, wie sich das auf die obige Liste beziehen lässt,
> vor allem auf [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm].

Hallo,

[willkommenmr].

Man weiß dann, daß sich das durch [mm] \vec{x}^T [/mm] A [mm] \vec{x}=0 [/mm] beschriebene Gebilde so in ein Koordinatensystem legen kann, daß man es durch
[mm] \vec{x}^T \pmat{\alpha&0&0\\0&\beta&0\\0&0&\gamma} \vec{x}=1 [/mm]
<==> [mm] \alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=1 [/mm]
beschreiben kann,
wobei [mm] \alpha,\beta,\gamma [/mm] alle positiv sind,
und Deine Tabelle sagt Dir nun: Ellipsoid.

>  
> Auf die obige Aufgabe bezogen sollte sich für die
> Unterdeterminanten folgendes ergeben:
>  
> [mm][/mm]det(-1)=-1<0,
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}=1>0,[/mm]
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}=3>0[/mm][mm][/mm]
>  
>
> Jetzt weiß ich nur, dass die Matrix nicht positiv definit
> ist.

Ein bißchen mehr weißt Du:
1. Sie ist nicht negativ definit, denn sonst müßten die Determinanten ihr Vorzeichen abwechselnd wechseln, beginnend mit einer negativen [mm] 1\times [/mm] 1-Deteminante.
2. Kein Eigenwert ist =0, denn sonst wäre Det A =0.

Die Matrix A hat also sowohl positive als auch negative Eigenwerte, keiner ist Null.
Also kann man dasGebilde so legen, daß man es durch
[mm] \vec{x}^T \pmat{\alpha&0&0\\0&\beta&0\\0&0&\gamma} \vec [/mm] x=0
<==>
[mm] \alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=0 [/mm]
beschreiben.
Dabei sind zwei der Buchstaben positive Zahlen, einer negativ
und wenn es genau andersrum ist, multiplizieren wir die Gleichung mit(-1).
Nun bleibt nur noch ein Problem: dieser Fall kommt in Deiner Liste nicht vor...
Es ist ein Doppelkegel.

LG Angela



>  Indefinitheit oder negative Definitheit könnte man noch
> überprüfen...
>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]