Bestimmung einer Formel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebe Mathefreunde,
ich bin auf der Suche nach einer Vorschrift g(n), die folgendes liefert:
g(0)=1
g(1)=2
g(2)=4
g(3)=6
g(4)=9
g(5)=12
g(6)=16
g(7)=20
...
Es beginnt also bei 1 und dann wird immer zweimal dieselbe Zahl addiert, dann erhöht sich diese Zahl um 1 und wird dann wieder zweimal addiert, usw.
Also ergibt sich das Muster
[mm] 1\stackrel{+1}{\longrightarrow}2\stackrel{+2}{\longrightarrow}4\stackrel{+2}{\longrightarrow}6\stackrel{+3}{\longrightarrow}9\stackrel{+3}{\longrightarrow}12\stackrel{+4}{\longrightarrow}16\stackrel{+4}{\longrightarrow}20\stackrel{+5}{\longrightarrow}\ldots
[/mm]
Es ist dabei völlig unerheblich, ob es sich um eine Summe, einem Bonomialkoeffizienten oder eine Folge handelt.
Irgendwie komme ich nicht auf einen grünen Zweig. Über eure Anregungen, Lösungen, Hinweise würde ich mich sehr freuen!
Liebe Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 11.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hey Richie,
Ich habe folgende Folge gebastelt:
[mm] a_n:=\frac{1}{8}((-1)^{n+1}+2n^2+4n+1)
[/mm]
Passt das?
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 11.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
danke dir für die Angabe der Folge. Das sieht wirklich sehr gut aus.
Habe mir mal mit Mathematica die ersten Folgenglieder generieren lassen. Absolut stimmig.
Danke.
Darf ich wissen, wie du so fix auf die Folge gekommen bist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 11.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hey,
Ich habe es als lineares Interpolationsproblem behandelt.
Dann wusste ich in etwa wie es aussehen muss als Folge.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 11.02.2014 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
leider passt das nicht, obwohl es eine gute Idee ist.
Es ist [mm] $a_{7}=\frac{1}{8}\cdot \left(\left(-1\right)^{8}+98+28+1\right)=16\not=20$
[/mm]
wie es gewünscht war.
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 11.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Blasco,
danke für deinen Einwand. Der Grund ist wohl die kleine Verschiebung. Die Antwort von dieAcht hat mich dennoch schon weiter gebracht.
Allerdings hast du recht, die Werte wurden immer um eine Position verschoben. Wie kann man diesen Missstand noch beheben?
Danke für das wache Auge!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 11.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Guten Abend!
> Allerdings hast du recht, die Werte wurden immer um eine
> Position verschoben. Wie kann man diesen Missstand noch
> beheben?
Man könnte die Folge natürlich umschreiben, sodass man auch
mit $n=0$ anfängt, aber die Lösung von Fred ist auf jeden Fall
um einiges eleganter. Woraus stammt denn die Aufgabe? Falls
du mit der Gaußfunktion nicht weiterarbeiten kannst, dann
sag nochmal hier bescheid. Ich gucke mir das dann nochmal an.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 11.02.2014 | | Autor: | gnolle |
Servus,
ich wäre da folgendermaßen vorgegangen:
Versuch, eine Folge zu finden, wo jede Zahl 2 mal hintereinander vorkommt und anschließend eins hochgezählt wird. Hier bietet sich eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Zahlen an, dann kommst du recht einfach auf eine passende Folge.
Dazu muss [mm] a_{0} [/mm] = 1 sein, [mm] a_{1} [/mm] = 1, [mm] a_{2} [/mm] = 2, [mm] a_{3} [/mm] = 2,...
Wenn du dann [mm] g(n)=\summe_{i=0}^{n} a_{n} [/mm] setzt, sollte das auch funktionieren.
mfg gnolle
Edit: hatte erst stehen, Du solltest eine Reihe finden. Meinte natürlich Folge, die Reihe kommt erst als letzter Schritt. Jetzt müssts stimmen denk ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs damit:
[mm] $g(n)=[\bruch{(n+2)^2}{4}]$ [/mm] für n [mm] \in \IN_0 [/mm] ?
Dabei ist [x] die größte ganze Zahl [mm] \le [/mm] x.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie wärs damit:
>
> [mm]g(n)=[\bruch{(n+2)^2}{4}][/mm] für n [mm]\in \IN_0[/mm] ?
>
> Dabei ist [x] die größte ganze Zahl [mm]\le[/mm] x.
>
> FRED
Ich möchte noch kurz schildern, wie ich auf obige Darstellung gekommen bin:
wenn man die Glieder der gegebene Folge jeweils mit 4 multipliziert erhält man:
[mm] 2^2,\quad 3^2-1,\quad 4^2,\quad 5^2-1,\quad 6^2,\quad 7^2-1,\quad 8^2,\quad 9^2-1.
[/mm]
Wenn mich nun jemand fragen sollte, wie ich darauf gekommen bin, mit 4 zu multiplizieren, kann ich nur sagen: keine Ahnung, das war so eine kleine "Eingebung".
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Di 11.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich bin auf der Suche nach einer Vorschrift g(n), die
> folgendes liefert:
>
> g(0)=1
> g(1)=2
> g(2)=4
> g(3)=6
> g(4)=9
> g(5)=12
> g(6)=16
> g(7)=20
> ...
>
> Es beginnt also bei 1 und dann wird immer zweimal dieselbe
> Zahl addiert, dann erhöht sich diese Zahl um 1 und wird
> dann wieder zweimal addiert, usw.
>
> Also ergibt sich das Muster
>
> [mm]1\stackrel{+1}{\longrightarrow}2\stackrel{+2}{\longrightarrow}4\stackrel{+2}{\longrightarrow}6\stackrel{+3}{\longrightarrow}9\stackrel{+3}{\longrightarrow}12\stackrel{+4}{\longrightarrow}16\stackrel{+4}{\longrightarrow}20\stackrel{+5}{\longrightarrow}\ldots[/mm]
>
> Es ist dabei völlig unerheblich, ob es sich um eine Summe,
> einem Bonomialkoeffizienten oder eine Folge handelt.
>
> Irgendwie komme ich nicht auf einen grünen Zweig. Über
> eure Anregungen, Lösungen, Hinweise würde ich mich sehr
> freuen!
>
> Liebe Grüße!
Hallo Richie,
die Folgenglieder mit den geraden Nummern sind Quadratzahlen, die mit den ungeraden Nummern liegen dazwischen.
Alle Folgenglieder lassen sich durch eine relativ regelmäßige Faktorisierung beschreiben:
g(0)=1=1*1
g(1)=2=1*2
g(2)=4=2*2
g(3)=6=2*3
g(4)=9=3*3
g(5)=12=3*4
g(6)=16=4*4
g(7)=20=4*5
Sowohl der erste als auch der zweite Faktor wiederholen sich jeweils einmal.
Die Folge (1,1,2,2,3,3,4,4,...)
lässt sich explizit auf folgende Art ausdrücken:
(3+1)/4, (5-1)/4, (7+1)/4, (9-1)/4, (11+1)/4...
Damit solltest du eine explizite Darstellung hinbekommen.
Was auch noch geht:
g(0)=1=[mm]1^2-0[/mm]
g(1)=2=[mm]1,5^2-0,25[/mm]
g(2)=4=[mm]2^2-0[/mm]
g(3)=6=[mm]2,5^2-0,25[/mm]
g(4)=9=[mm]3^2-0[/mm]
g(5)=12=[mm]3,5^2-0,25[/mm]
...
Die vordere Quadratzahl ist [mm](\frac{n+2}{2})^2[/mm],
und den Wechsel zwischen 0 und 0,25 bekommst du mit [mm]\frac{1+(-1)^{n+1}}{8}[/mm] hin.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo an alle!
Ich bedanke mich für die vielen Lösungsvorschläge. Wirklich gigantisch wie viele Möglichkeiten es doch gibt. Dabei gefällt mir die von dieAcht sehr gut, da sie doch schon eine schöne Struktur hat.
Danke auch an Fred und an abakus! Die Lösungen sind auch sehr hübsch.
Ich will noch schnell erläutern woher die Aufgabe stammt: Man sollte den Entartungsgrad eines harmon. dreidimensionalen anisotropen Oszillators angeben. Dabei gab es bestimmte Bedigungen an die Frequenzen, sodass sich eben genau diese Folge an ENtartungen ergaben.
Ich danke euch für die Unterstützung.
Schönen Abend!
|
|
|
|
