Bestimmung orthonormale Basis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | Sei [mm] (\produkt)_3 [/mm] der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Höchstgrad 3. Auf [mm] (\produkt)_3 [/mm] ist ein Skalarprodukt definiert über <p,q>:= [mm] \integral_{-1}^{1}{p(t) q(t) dt} \forall [/mm] p,q [mm] \in (\produkt)_3 [/mm]
Bestimme ausgehend von [mm] p_0(t)=1, p_1(t)=t, p_2(t)=t^2 [/mm] und [mm] p_3(t)=t^3 [/mm] eine orthonormale Basis des [mm] (\produkt)_3 [/mm] bzgl. <.,.>. |
Wie fange ich an ? :S
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Hallo Carlo,
> Sei [mm](\produkt)_3[/mm] der Vektorraum der Polynome mit reellen
> Koeffizienten vom Höchstgrad 3. Auf [mm](\produkt)_3[/mm] ist ein
> Skalarprodukt definiert über <p,q>:=
> [mm]\integral_{-1}^{1}{p(t) q(t) dt} \forall[/mm] p,q [mm]\in (\produkt)_3[/mm]
> Bestimme ausgehend von [mm]p_0(t)=1, p_1(t)=t, p_2(t)=t^2[/mm] und
> [mm]p_3(t)=t^3[/mm] eine orthonormale Basis des [mm](\produkt)_3[/mm] bzgl.
> <.,.>.
> Wie fange ich an ? :S
Welche Bedingungen muss denn ein Skalarprodukt erfüllen?
Wann ist eine Basis orthonormal? Und was muss hier erfüllt sein, damit zwei Polynome zueinander "orthogonal" bzw. "normal" sind, bei Vektoren würde man sagen: senkrecht aufeinander stehen?
Wenn man nicht weiß, wie man anfangen soll, ist es immer gut, sich erst einmal die Definitionen anzusehen. Als nächstes solltest Du mit dieser Definition eines Skalarprodukts ein bisschen herumexperimentieren, um ein Gefühl dafür zu bekommen, was da "passiert".
Eine Basis zu finden, sollte dann nicht mehr so schwer sein.
Ein Basispolynom könnte [mm] b_1(t)=t [/mm] sein, Du musst nur noch zwei weitere dazu und zueinander orthogonale Polynome finden.
Grüße
reverend
</p,q>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallo,
du hast mir empfohlen mit der Definition des Skalarproduktes zu experimentieren, es gilt doch folgendes:
[mm] \vec{p} \* \vec{q} [/mm] = [mm] p_1 q_1 [/mm] + [mm] p_2 q_2 [/mm] + [mm] p_3 q_3
[/mm]
so jetzt müsste ich doch [mm] p_1(t) [/mm] = t etc. oben einsetzen oder ?
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Hallo nochmal,
> du hast mir empfohlen mit der Definition des
> Skalarproduktes zu experimentieren, es gilt doch
> folgendes:
>
> [mm]\vec{p} \* \vec{q}[/mm] = [mm]p_1 q_1[/mm] + [mm]p_2 q_2[/mm] + [mm]p_3 q_3[/mm]
Nein, eben nicht. Das ist das sogenannte "Standardskalarprodukt" im [mm] \IR^3. [/mm] In der Aufgabe wird aber ein ganz anderes definiert.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Das liest sich ein bisschen technisch, aber immerhin sieht man auf einen Blick: es gibt andere Skalarprodukte, und hier hast Du eben ein solches.
> so jetzt müsste ich doch [mm]p_1(t)[/mm] = t etc. oben einsetzen
> oder ?
Nein, die Definition ist ja eine andere. Aber berechne doch z.B. mal das Skalarprodukt von [mm] p_1(t)*p_1(t) [/mm] oder das von [mm] p_1(t)*p_2(t).
[/mm]
Und erst danach zurück zu der Frage: wann sind zwei Elemente dieses Vektorraums eigentlich orthogonal zueinander? Kannst Du eines nennen, das zu [mm] p_1(t)=t [/mm] orthogonal ist?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 28.06.2011 | | Autor: | Carlo |
wann sind zwei
> Elemente dieses Vektorraums eigentlich orthogonal
> zueinander? Kannst Du eines nennen, das zu [mm]p_1(t)=t[/mm]
> orthogonal ist?
>
> Grüße
> reverend
>
Nach einer langen Durchforstung bin ich zum folgenden Ergebnis gekommen:
Zwei Elemente sind orthogonal zueinander, wenn ihr inneres Produkt gleich 0 ist, also
[mm] p_0 [/mm] (t)= 1
[mm] ||1||^2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{1^2 dt} [/mm] = 2
[mm] q_1 [/mm] (t) = [mm] \bruch{1}{||1||} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] p_1(t) [/mm] = t
[mm] q_2 [/mm] (t) = [mm] \bruch{t}{||t||} [/mm] = [mm] \bruch{t}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}}} [/mm] = [mm] \bruch{t}{\bruch{2}{3}} [/mm] = t [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] q_1(t) \* q_2(t) \integral_{-1}^{1}{1t dt} [/mm] = 0
Die Länge beträgt 1 und zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, dies hat zu folge, dass eine Orthonormalität vorliegt.
Bin ich auf dem richtigen Weg ? Wenn ja, wie gehts weiter ? 
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Hallo Carlo,
> wann sind zwei
> > Elemente dieses Vektorraums eigentlich orthogonal
> > zueinander? Kannst Du eines nennen, das zu [mm]p_1(t)=t[/mm]
> > orthogonal ist?
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
> Nach einer langen Durchforstung bin ich zum folgenden
> Ergebnis gekommen:
>
> Zwei Elemente sind orthogonal zueinander, wenn ihr inneres
> Produkt gleich 0 ist, also
>
> [mm]p_0[/mm] (t)= 1
> [mm]||1||^2[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1}{1^2 dt}[/mm] = 2
> [mm]q_1[/mm] (t) = [mm]\bruch{1}{||1||}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
>
>
> [mm]p_1(t)[/mm] = t
> [mm]q_2[/mm] (t) = [mm]\bruch{t}{||t||}[/mm] =
> [mm]\bruch{t}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{t}{\bruch{2}{3}}[/mm] = t [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]q_1(t) \* q_2(t) \integral_{-1}^{1}{1t dt}[/mm] = 0
> Die Länge beträgt 1 und zwei Vektoren sind orthogonal
> zueinander, dies hat zu folge, dass eine Orthonormalität
> vorliegt.
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg ? Wenn ja, wie gehts weiter ?
>
Leider ist der Weg nicht ganz richtig.
Eine Orthonormalbasis bildest Du nach
dem Verfahren von GramSchmidt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 28.06.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe es nochmal versucht
Für [mm] p_0 [/mm] bekomme ich [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2 \wurzel{1}} [/mm] heraus.
[mm] p_1(t)=t [/mm] ist orthogonal zu [mm] p_0, [/mm] wenn
[mm] p_1= \bruch{t\wurzel{6}}{2} [/mm] ist.
[mm] p_1 [/mm] ist orthogonal zu [mm] t^2 [/mm] und [mm] p_0 [/mm] nicht.
Ist das jetzt richtig ?!? :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 28.06.2011 | | Autor: | Carlo |
meine orthonormale basis:
[mm] [\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{t \wurzel{6}}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{3 \wurzel{10} t^2 }{32} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{10}}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{5 \wurzel{14} t^3 }{128} [/mm] - [mm] \bruch{3 \wurzel{14} t}{8} [/mm] ]
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Hallo Carlo,
> Ich habe es nochmal versucht
>
> Für [mm]p_0[/mm] bekomme ich [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2 \wurzel{1}}[/mm]
> heraus.
>
> [mm]p_1(t)=t[/mm] ist orthogonal zu [mm]p_0,[/mm] wenn
>
> [mm]p_1= \bruch{t\wurzel{6}}{2}[/mm] ist.
>
> [mm]p_1[/mm] ist orthogonal zu [mm]t^2[/mm] und [mm]p_0[/mm] nicht.
>
> Ist das jetzt richtig ?!? :-(
>
Ja, das ist jetzt richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 28.06.2011 | | Autor: | Carlo |
Und meine Basis, ist die auch richtig ?
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> Und meine Basis, ist die auch richtig ?
Hallo,
das kannst Du ja selbst kontrollieren:
berechne für Deine Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3, b_4 [/mm] die Skalarprodukte
[mm] .
[/mm]
Für [mm] i\not=j [/mm] müßte das entsprechende Integral 0 ergeben, für i=j eben 1.
Gruß v. Angela
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