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Beträge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Do 24.02.2011
Autor: RWBK

Aufgabe
Gesucht sind alle Zahlen x [mm] \varepsilon \IR [/mm] mit der Eigenschaft |x-1| [mm] \le [/mm] |2x+1|



Hallo,

zu diesem Aufgaben Typen habe ich einige Fragen:

Als erstes muss ich doch erst mal feststellen wie die beiden Ausdrücke null werden oder ?? Das wäre hier -1/2 und 1.

Jetzt kommt die schreibweise aus der Schule!

1.Fall: [mm] -\infty [/mm] < x < -1/2
|x-1| [mm] \le [/mm] |2x+1| [mm] \gdw -(x-1)\le [/mm] - (2x+1) [mm] \gdw [/mm] -x+1 [mm] \le [/mm] -2x-1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] -2
Jetzt kommen die Schlussfolgerung die verstehe ich nie, ist die Ungleichung jetzt erfüllt ja oder nein? Wenn sie erfüllt ist warum ist das so?

2-Fall: -1/2 [mm] \le [/mm] x < 1
x-1| [mm] \le [/mm] |2x+1| [mm] \gdw [/mm] -(x-1) [mm] \le [/mm] 2x+1
Hierzu habe ich die nächste Frage warum versehe  ich einen Betrag mit einem Minuszeichen den anderen nicht? Wo liegt da eine Gesetzmäßigkeit und woher weiß ich welchen Betrag ich mit einem Minuszeichen versehen muss?
[mm] \gdw [/mm] -x+1 [mm] \le [/mm]  2x+1 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x   Für welchen Bereich ist die Ungleichung jetzt erfüllt?

3.Fall: [mm] 1\le [/mm] x [mm] <\infty [/mm]
|x-1| [mm] \le [/mm] |2x+1| [mm] \gdw [/mm] x-1 [mm] \le [/mm] 2x+1 [mm] \gdw [/mm] -2 [mm] \le [/mm] x Wofür ist die Gleichung  hier denn erfüllt oder ist sie überhaupt erfüllt?

Ich hoffe das kann mir mal jemand erklären, mir ist das überhaupt nicht klar und in meinen Skript steht da nichts zu.

Mfg
RWBK


        
Bezug
Beträge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 24.02.2011
Autor: fred97


> Gesucht sind alle Zahlen x [mm]\varepsilon \IR[/mm] mit der
> Eigenschaft |x-1| [mm]\le[/mm] |2x+1|
>  
>
> Hallo,
>
> zu diesem Aufgaben Typen habe ich einige Fragen:
>  
> Als erstes muss ich doch erst mal feststellen wie die
> beiden Ausdrücke null werden oder ?? Das wäre hier -1/2
> und 1.
>  
> Jetzt kommt die schreibweise aus der Schule!
>  
> 1.Fall: [mm]-\infty[/mm] < x < -1/2
>  |x-1| [mm]\le[/mm] |2x+1| [mm]\gdw -(x-1)\le[/mm] - (2x+1) [mm]\gdw[/mm] -x+1 [mm]\le[/mm]
> -2x-1 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\le[/mm] -2
>  Jetzt kommen die Schlussfolgerung die verstehe ich nie,
> ist die Ungleichung jetzt erfüllt ja oder nein? Wenn sie
> erfüllt ist warum ist das so?

Gezeigt wurde:

Unter der Voraussetzung x<-1/2 ist die Ungleichung genau dann erfüllt, wenn x [mm] \le [/mm] -2 ist: Ein Teil der Lösungsmenge ist also

             ( - [mm] \infty, [/mm] -2 ].


>  
> 2-Fall: -1/2 [mm]\le[/mm] x < 1
>  x-1| [mm]\le[/mm] |2x+1| [mm]\gdw[/mm] -(x-1) [mm]\le[/mm] 2x+1
>  Hierzu habe ich die nächste Frage warum versehe  ich
> einen Betrag mit einem Minuszeichen den anderen nicht? Wo
> liegt da eine Gesetzmäßigkeit und woher weiß ich welchen
> Betrag ich mit einem Minuszeichen versehen muss?


Wenn x<1 ist, so ist x-1<0, also ist |x-1|=-(x-1)

Wenn -1/2 [mm] \le [/mm] x ist, so ist 2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 und damit ist |2x+1|=2x+1


>  [mm]\gdw[/mm] -x+1 [mm]\le[/mm]  2x+1 [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x   Für welchen Bereich
> ist die Ungleichung jetzt erfüllt?

Unter der Vor. -1/2 [mm]\le[/mm] x < 1  ist die Ungl. genau dann erfüllt, wenn 0 [mm] \le [/mm] x. Damit ist ein weiterer Teil der Lösungsmenge:

          [0,1).



>  
> 3.Fall: [mm]1\le[/mm] x [mm]<\infty[/mm]
>  |x-1| [mm]\le[/mm] |2x+1| [mm]\gdw[/mm] x-1 [mm]\le[/mm] 2x+1 [mm]\gdw[/mm] -2 [mm]\le[/mm] x Wofür
> ist die Gleichung  hier denn erfüllt oder ist sie
> überhaupt erfüllt?

Wieder dasselbe Spiel: unter der Vor. x [mm] \ge [/mm] 1 ist die Ungl. genau dann erfüllt, wenn -2 [mm]\le[/mm] x. Damit ist der letzte Teil der Lösungsmenge:

               [1, [mm] \infty). [/mm]

FRED

>  
> Ich hoffe das kann mir mal jemand erklären, mir ist das
> überhaupt nicht klar und in meinen Skript steht da nichts
> zu.
>
> Mfg
>  RWBK
>  


Bezug
                
Bezug
Beträge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 Do 24.02.2011
Autor: RWBK

Danke Fred eine super erklärung, da wird das für mich Vollpfosten sogar klar. DANKE

Bezug
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