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Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Di 06.12.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
f: [mm] \IR \{0} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] 1 - [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm]
stetig auf die Stelle 0 forsetzbar?



Hallo,

ich habe die Funktion erst einmal vereinfach, weil der Betrag ja so definiert ist:

[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x <0 \mbox{} \end{cases} [/mm]

Daraus folgt für f:

[mm] f(x)=\begin{cases} 1-\bruch{x}{x}, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ 1- \bruch{-x}{x}, & \mbox{für } x <0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ 2, & \mbox{für } x <0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Stetig forsetzbar an einem Punkt [mm] x_0 [/mm] bedeutet, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] x_0 [/mm] ist

Für x [mm] \ge [/mm] 0 konvergiert f(x) gegen den Punkt 0 ( x gegen unendlich)

Für x < 0 konvergiert f(x) gegen 2

Ist das der richtige Weg ?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Di 06.12.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> f: [mm]\IR \{0}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit x [mm]\mapsto[/mm] 1 - [mm]\bruch{|x|}{x}[/mm]
> stetig auf die Stelle 0 forsetzbar?

>
>

> Hallo,

>

> ich habe die Funktion erst einmal vereinfach, weil der
> Betrag ja so definiert ist:

>

> [mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x <0 \mbox{} \end{cases}[/mm]

>

Gute Idee.

> Daraus folgt für f:

>

> [mm]f(x)=\begin{cases} 1-\bruch{x}{x}, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ 1- \bruch{-x}{x}, & \mbox{für } x <0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]

Vorsicht, es gilt:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-\bruch{x}{x}, & \mbox{für } x \red{>} 0 \mbox{ } \\ 1- \bruch{-x}{x}, & \mbox{für } x <0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Für x=0 ist die Funktion aufgrund des 'x' im Nenner nicht definiert.

>

> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ 2, & \mbox{für } x <0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]

Auch hier ist das "größergleich" falsch.

>

> Stetig forsetzbar an einem Punkt [mm]x_0[/mm] bedeutet, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = [mm]x_0[/mm] ist

>

> Für x [mm]\ge[/mm] 0 konvergiert f(x) gegen den Punkt 0 ( x gegen
> unendlich)

>

> Für x < 0 konvergiert f(x) gegen 2

>

> Ist das der richtige Weg ?

Das stimmt, und da der links- und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 nicht übereinstimmen ........ (das müsstest du dann noch ergänzen)

>

> Vielen Dank im Voraus

Marius

Bezug
                
Bezug
Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Di 06.12.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort.
Ja, das habe ich bereits ergänzt, danke dafür noch mal.

Ich weiß, dass es auch mit diesem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert geht, also wenn die verschieden sind, dann ist die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht stetig forsetzbar.

Ist diese Definition mit dem "rechtsseitigen- und linksseitigem Grenzwert" äquivalent zu der Definition, dass eine Funktion für x unendlich gegen diese Stelle [mm] x_0 [/mm] konvergieren muss ?

Also zum Beispiel ( muss nicht stimmen das Beispiel, nur zum Verständnis):

Sei f(x) = 1/x, bei x= 0 ist es nicht definiert und sei f: [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ohne die 0 im Definitionsbereich.
Die Frage ist jetzt, ist es an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig fortsetzbar.

Jetzt kann ich doch zwei Wege gehen, oder? Entweder ich berechne [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) , und dieser Grenzwert MUSS gegen 0 (also gegen diesen Punkt [mm] x_0) [/mm] konvergieren, das tut sie auch. Aber die FUnktion ist ja gar nicht stetig fortsetzbar. Das heißt, mit dieser Definition komme ich nicht weiter.

Ich muss also bei f(x)=1/x tatsächlich einmal den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert ausrechnen und dann vergleichen, oder ?
Okay, für 1/x ist das einfach, aber wenn mal eine komplizierte FUnktion hat, die man sich nicht so richtig grafisch "vorstellen" kann, muss man wohl immer Testeinsetzungen machen, oder? Also zum Beispiel nicht 0 einsetzen, sondern -0.05 oder so(linksseitig) und dann noch mal für die rechte Seite , statt 0 setzen wir die 0,05  eins etc.

Ich hoffe, meine Frage ist verständlich genug.

Bezug
                        
Bezug
Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Di 06.12.2016
Autor: Stala

Hallo,

du vertust dich etwas mit den Grenzwerten und Definitionen. Eine Funktion ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert existiert:

[mm] \lim \limits_{x \to x_0} [/mm] f(x) = r

x muss gegen den Punkt [mm] x_0 [/mm] streben und nicht gegen [mm] \infty! [/mm]

In deiner Aufgabe also muss du prüfen, ob, rechts und linksseitiger Grenzwert von

[mm] \lim \limits_{x \to 0, x < 0} [/mm] f(x) und [mm] \lim \limits_{x \to 0, x > 0} [/mm] f(x) übereinstimmen. Das hast du ja schon herausgefunden, dass dem nicht so ist.

Bei der Funktion f(x) = 1/x gilt ja ohnehin:

[mm] \lim \limits_{x \to 0, x > 0} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm]

also existiert der Grenzwert nicht und die Funktion f(x) = 1/x ist nicht stetig fortsetzbar im Punkt 0

Bezug
                                
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Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Di 06.12.2016
Autor: pc_doctor

Achso, stimmt, jetzt macht das Ganze Sinn.

Vielen lieben Dank für die Antworten, jetzt habe ich es verstanden.

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