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Bewegungsgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 So 18.04.2010
Autor: mathiko

Aufgabe
Ein Teilchen mit m und q bewegt sich im räumlich und zeitlich konstanten elektromagnetischen Feld [mm] \vec{E}(\vec{r},t)=E_0*\vec{e_z} [/mm] , [mm] \vec{B}(\vec{r},t)=B_0*\vec{e_z}. [/mm]

Stelle die Newtonsche Bewegungsgleichung für die Trajektorie [mm] \vec{r}(t) [/mm] auf, und löse diese mit den Anfangsbedingungen [mm] \vec{r}(0)=R*\vec{e_y} [/mm] und [mm] \vec{v}(0)=((RqB_0)/m)*\vec{e_x} [/mm] (R=const.)

Hallo!
Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe.
Die Bewegungsgleichung habe ich mithilfe der Lorentzkraft aufgestellt:

[mm] m*\vec{a}=q*E_0*\vec{e_z}+q*b_0*\vec{v}X\vec{e_z} [/mm]

Das ganze ist eine inhomogene DGL. Aber jetzt weiß ich nicht wie ich diese lösen kann.
Ich habe es mit Beträgen versucht, aber dann komme ich nur auf den Betrag der Trajektorie und nicht auf den Vektor:
[mm] r(t)=R*e^{((-q*B_0)/m)*t}+R [/mm]
Wie kann ich die Vektoren bei der Lösung mit einbinden?
Oder muss ich die Gleichung für jede einzelne Komponente lösen?

Vielen Dank schon mal!!!!!
Grüße von mathiko


        
Bezug
Bewegungsgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 So 18.04.2010
Autor: Kroni

Hi,

>  
> [mm]m*\vec{a}=q*E_0*\vec{e_z}+q*b_0*\vec{v}X\vec{e_z}[/mm]

Genau, die Kraft ist die Summe aus Kraft duchrs E-Feld und durch die Lorentz-Kraft.

>  
> Das ganze ist eine inhomogene DGL. Aber jetzt weiß ich
> nicht wie ich diese lösen kann.
> Ich habe es mit Beträgen versucht, aber dann komme ich nur
> auf den Betrag der Trajektorie und nicht auf den Vektor:
>  [mm]r(t)=R*e^{((-q*B_0)/m)*t}+R[/mm]
>  Wie kann ich die Vektoren bei der Lösung mit einbinden?
>  Oder muss ich die Gleichung für jede einzelne Komponente
> lösen?

Das ist der Weg zum Ziel. Man kann ja hier [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \pmat{v_x \\ v_y \\ v_z}$ [/mm] ansetzen, und dann [mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{\dot{v}_x \\ \dot{v}_y \\ \dot{v}_z}$. [/mm] Das dann Komponentenweise hinschreiben, genauso wie man dann bei der Lorentzkraft das Kreuzprodukt [mm] $\vec{v} \times \vec{e}_z [/mm] = [mm] \pmat{v_x \\ v_y \\ v_z} \times \pmat{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] auswerten. Wenn es dann irgendwelche Mischterme gibt, wo [mm] $v_x$ [/mm] und [mm] $v_z$ [/mm] zB miteinander verknuepft sind, lohnt es meistens, die Gleichung nochmal nach der Zeit abzuleiten, weil man das dann meist substituieren kann, ohne dass man ueber Matrizen gehen muss. Dann hat man eine DGL pro Komponente fuer $v$ dort stehen, die man dann komponentenweise loesen kann.



LG

Kroni

>  
> Vielen Dank schon mal!!!!!
>  Grüße von mathiko
>  


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Bezug
Bewegungsgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 So 18.04.2010
Autor: mathiko

Hallo Kroni!
Danke, dass du so schnell geantwortet hast!!!!!

Dann werde ich mich mal dransetzen...

Lg mathiko



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Bezug
Bewegungsgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 18.04.2010
Autor: mathiko

Hmm, irgenwie komme ich mit der Substitution nicht hin:

Für die x-Komponente lautet die DGL:

[mm] q-B_0*\dot{r_2}-m*\dot{\dot{r_1}}=0 [/mm]

Wenn ich das ableite, bleiben die Indices doch trotdem bestehen... Ich kann da leider nicht sehen, wie das für eine Substitution hilfreich sein soll.

Wer kann mir da nochmal helfen?
Gruß mathiko

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Bezug
Bewegungsgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 18.04.2010
Autor: Kroni

Hi,

ich wuerde in diesem Falle erst ueber $v$ gehen, denn dann hat man eine DGL erster Ordnung, dann kann man sich immer ein [mm] $\dot{.}$ [/mm] ersparen.

Schreib mal die DGL fuer alle Komponenten fuer [mm] $\vec{v}$ [/mm] komplett auf. Dann  mischen sich ja die Terme von [mm] $v_x$ [/mm] und [mm] $v_y$ [/mm] durch das Kreuzprodukt. Da hast du aber einmal sowas wie [mm] $\dot{v}_x [/mm] = [mm] av_y$ [/mm] und [mm] $\dot{v}_y [/mm] = [mm] bv_x$. [/mm] Wenn du jetzt zB die zweite Gleichung nochmal nach $t$ ableitest, dann erhaelst du einen Ausdruck von [mm] $\dot{v}_x$, [/mm] den du in die erste Gleichung einsetzten kannst. Damit hast du dann eine DGL dort stehen, die nur noch [mm] $v_y$ [/mm] in seinen Zeitableitungen beinhaltet, die man sofort loesen kann.

LG

Kroni

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Bewegungsgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 So 18.04.2010
Autor: mathiko

AH, jetzt habe ich es geschafft...

Vielen dank!!!!!!

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Bewegungsgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 So 18.04.2010
Autor: Kroni

Hi,

schoen, das freut mich.

Es sollte an sich eine Kreisbewegung in der $x$-$y$ Ebene rauskommen, die mit der Zyklotronfrequenz [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{qB_0}{m}$ [/mm] schwingt. In $z$-Richtung gibts dann nur die beschleunigte Kraft durch das $E$-Feld. Das gibt dann die schoenen Spiralbahnen.

LG

Kroni

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Bewegungsgleichung lösen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Di 02.11.2010
Autor: Christian16

Hi,

mich beschäftigt das gleiche problem, in dem es in diesem artikel ging.
soweit kann ich alles nachvollziehen, nur folgendes nicht:

wie kommt die beziehung:  $ [mm] \dot{v}_x [/mm] = [mm] av_y [/mm] $ und $ [mm] \dot{v}_y [/mm] = [mm] bv_x [/mm] $   zustande ?

was sind a und b und wie kommen die neuen indizes zustande?
Viele Dank schonmal, Christian!

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Bewegungsgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 02.11.2010
Autor: leduart

Hallo Christian
es ist doch die Lorenzkraft [mm] q*\vec{v}\times \vec{B} [/mm]
rechne das aus, dann hasst du [mm] m*\dot{v}_x [/mm] =...
durch m dividiert gibt das [mm] \dot{v}_x =a*v_y [/mm]
jetzt stell a, b selbst her.
Gruss leduart


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Bewegungsgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Di 02.11.2010
Autor: leduart

Hallo
schon dss da Ladung - B*v steht zeigt, dass du entsetzlichen blödsinn berechnet hast.
Schreib das mal erst in Vektorschreibweise aus, bilde das Vektorprodukt
nenn die Komponenten von r (x,y,z) die Geschw. x',y',z' und entsprechend x'' usw.
Dann schreib alle 3 Gleichungen ordentlich auf.
was du fasch machst kann ich ja an so ner Gleichung nicht sehen.
und die einfachen Dgl wo nur noch x,x' und x'' vorkommen  kriegst du erst wenn du alle 3 Gl. verwendest
Gruss leduart


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