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Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Beweis erklären
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Do 29.09.2016
Autor: Lohrre

Aufgabe
R:={(x,y) [mm] \in \IR^2; \xi \le [/mm] \ (xi + a), |y - [mm] \eta|\le [/mm] b} mit a,b >0 und [mm] (\xi,\eta) \in \IR^2. [/mm]
f:R ->R stetig und genüge einer Lipschitzbedingung (bzgl des zweiten Arguments). Dann existiert genau eine Lösung der DGL y'=f(x,y), [mm] y(\xi) =\eta [/mm] im Intervall J:= [mm] [\xi, \xi+a] [/mm] mit [mm] \alpha:= [/mm] min [mm] (a,\frac{b}{A}) [/mm] und A:= max |f(x,y)| (x,y) [mm] \in [/mm] R.

Guten Tag,

das ist meine erste Frage hier im Forum, ich bin gespannt, ob mir wer weiterhelfen kann :)

Meine erste Frage ist bereits zum Satz, den ich oben angegeben habe. Ich kann mir nicht ganz vorstellen, wie das definierte Rechteck ausschaut. Wenn ich mir die Definition anschaue, würde ich denken, der Mittelpunkt liegt bei [mm] (\xi,\eta) [/mm] stimmt das?
Und was ist bei der Lipschitzbedingung gemeint mit bzgl. dem zweiten Argument??


Meine zweite Frage richtet sich dem Beweis, den ich von Anfang bis Ende nicht durchschaue. Kann mir jemand erklären, wie man hier generell vorgeht? Was ist das D in Worten und was macht man in dem Beweis überhaupt?

Sei D:= {y: J->R; y stetig, [mm] |y(x)-\eta| \le [/mm] b für x [mm] \in [/mm] J}
D ist abgeschlossen (bzgl. ||y||:= [mm] sup_{x \in J} [/mm] {|y(x)| e^(- [mm] \alpha [/mm] x) ; x [mm] \in [/mm] J})
(Für eine Folge [mm] (y_n) \subset [/mm] D ist die Grenzfunktion y stetig, außerdem ist |y(x) - [mm] \eta| [/mm] = [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] (x)- [mm] \eta| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |y(x) - [mm] \eta| \le [/mm] b).
Außerdem ist [mm] T_y \in [/mm] D für y [mm] \in [/mm] D.

Dann ist [mm] T_y [/mm] stetig und
|(Ty)(x)|=| [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt} [/mm]
[mm] \le [/mm] A [mm] \alpha \le [/mm] A* [mm] \bruch{b}{A} [/mm] =b.

T:D -> D ist Kontraktion und hat wg Banachschen Fixpktsatz genau einen Fixpunkt y [mm] \in [/mm] D.



Ganz lieben Dank, Lohrre

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Ueberblick Picard-Lindelöf
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Do 29.09.2016
Autor: Helbig

Hallo Lohrre,
willkommen im Matheraum. Mal sehen, ob wir Dir weiterhelfen koennen.

Es handelt sich wohl um den Satz von Picard Lindeloef.

Das Rechteck hat die Laenge a und die Hoehe 2b. Der Punkt [mm] $(\xi, \eta)$ [/mm] liegt
in der Mitte der linken Seite des Rechtecks.

Es gibt ein L, so dass |f(x, y1) - f(x, y2)| < L*|y1 - y2| fuer die Punkte aus
dem Rechteck.

Die Menge D ist die Menge stetiger Funktionen, deren Graph in dem Rechteck
verlaufen. Jede Loesung des Anfangswertproblems ist ein Element dieser
Menge.

Im weiteren wird ein Operator T von D nach D definiert. Der Raum D ist ein
Banachraum und von dem Operator T wird gezeigt, dass er eine Kontraktion ist.
Nach dem Fixpunktsatz von Banach hat T genau einen Fixpunkt. Dieser ist
eine Loesung des Anfangswertproblems.

Das D ist meiner Meinung nach nicht korrekt definiert: Es sollte nur
die Funktionen enthalten mit [mm] $y(\xi) [/mm] = [mm] \eta.$ [/mm]

Dann geht es bei dem Satz nicht um Existenz und Eindeutigkeit der Loesung
der DGL sondern des Anfangswertproblems.

Soviel erst mal.

liebe Gruesse,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Sa 01.10.2016
Autor: Lohrre

Hallo, danke für deine Antwort! Diese hat mir schon sehr weitergeholfen.
Jetzt habe ich aber noch zwei Fragen.
Was ist das [mm] \alpha [/mm] und das A, wenn ich mir das bildlich vorstelle?
Und die zweite Frage ist, was bedeutet D ist abgeschlossen?

Und warum gilt diese Ungleichung:  $| [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt} [/mm] |$
$ [mm] \le [/mm] $ A $ [mm] \alpha$ [/mm]


LG und vielen lieben Dank!

Bezug
                        
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Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 02.10.2016
Autor: hippias


> Hallo, danke für deine Antwort! Diese hat mir schon sehr
> weitergeholfen.
>  Jetzt habe ich aber noch zwei Fragen.
>  Was ist das [mm]\alpha[/mm] und das A, wenn ich mir das bildlich
> vorstelle?

Du hast doch die Definitionen vorliegen: $A$ ist das Maximum der Funktion $f$; $f$ ist die Steigung von $y$. [mm] $\alpha$ [/mm] ist eine Hilfsgrösse, die die Länge des Intervalls beschreibt, auf der die Lösung der DGL eindeutig ist.

>  Und die zweite Frage ist, was bedeutet D ist
> abgeschlossen?

Den Begriff "abgeschlossene Menge" findest Du in jedem Analysis-Buch definiert.

>  
> Und warum gilt diese Ungleichung:  [mm]| \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt} |[/mm]
>  
> [mm]\le[/mm] A [mm]\alpha[/mm]

Hier wurde die Dreiecksungleichung für Integrale, sowie die Definitionen der Zahlen $A$ und [mm] $\alpha$ [/mm] benutzt.
  

>
> LG und vielen lieben Dank!


Bezug
                                
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 So 02.10.2016
Autor: Lohrre

Der letzte Teil mit der Dreiecksungleichung ist mir nicht klar. Ich weiß, wie die Dreiecksungleichung für Integrale geht, findet man gsd eh im Internet gleich. Aber trotzdem weiß ich nicht warum das Integral [mm] \le [/mm] A [mm] \alpha [/mm] ist. Wäre toll, wenn du/ihr mir noch helfen könnt.

LG

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Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 So 02.10.2016
Autor: fred97

Für x [mm] \in [/mm] J ist

$ | [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt} [/mm] |  [mm] \le \integral_{\xi}^{x}{|f(t,y(t))| dt} \le \integral_{\xi}^{x} [/mm] A dt [mm] \le \integral_{\xi}^{\xi + \alpha} [/mm] A dt= [mm] \alpha [/mm] *A$

Bezug
                                                
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Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 02.10.2016
Autor: Lohrre

Ist
$ [mm] \integral_{\xi}^{x}{|f(t,y(t))| dt} \le \integral_{\xi}^{x} [/mm] A dt$ weil A:= max |f(x,y)|  oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 So 02.10.2016
Autor: hippias

Ja.


Bezug
                                                                
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 So 02.10.2016
Autor: Lohrre

Okay ich glaube soweit habe ich jetzt alles verstanden, außer den letzten Schritt, warum ist A [mm] \alpha \le [/mm] A [mm] \bruch{b}{A} [/mm] ?

MFG

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 So 02.10.2016
Autor: fred97


> Okay ich glaube soweit habe ich jetzt alles verstanden,
> außer den letzten Schritt, warum ist A [mm]\alpha \le[/mm] A
> [mm]\bruch{b}{A}[/mm] ?
>  

def. von [mm] \alpha [/mm]





> MFG


Bezug
                                                                                
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:50 Mo 03.10.2016
Autor: Lohrre

Aber warum, a ist doch das min(a,b/A). Das sagt doch nicht aus, dass b/A [mm] \le [/mm] a ist?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Beweis-genau eine Lsg. d. Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Mo 03.10.2016
Autor: fred97


> Aber warum, a ist doch das min(a,b/A).

Nein,  [mm] \alpha [/mm] ist das Minimum

fred


A>Das sagt doch nicht

> aus, dass b/A [mm]\le[/mm] a ist?


Bezug
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