Beweis Mengenlehre: |A U B| < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 12.10.2006 | | Autor: | mickey |
| Aufgabe | Man zeige für beliebige Teilmengen A und B einer Menge R:
|A [mm] \cup [/mm] B| = |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|
Man leite daraus eine entsprechende Formel für |A U B U C| her. (Mit |M| wird die Anzahl der Elemente von M bezeichnet) |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich (ein mathematisches Problemkind) bin neu hier und hoffe alles in diesem ersten Posting richtig gemacht zu haben.
Meine Frage ist doch irgendwie recht dumm, denn ich habe keinen Schimmer wie ich das beweisen soll. Das Problem ist für mich das Ungeübt sein im Beweisen von mathematischen Sachen. Und ich einfach nicht weiß, wie ich das was ich mir denke mathematisch hinschreiben soll, so dass es korrekt ist...
Für mich ist klar, dass der obige Satz über die Anzahl zweier Mengen stimmt. Die Anzahl der Elemente der Vereinigung zweier Mengen ist gleich der Anzahl der Elemente der beiden Mengen minus der Anzahl jener Elemente die in beiden Mengen vorkommen (um sie nicht doppelt mitzuzählen). Also so rein von der Überlegung her ist mir das klar und ich "sehe", dass das Beispiel richtig ist.
Aber, wie schreibe ich das auf meinen Zettel so dass die anderen keine Lachkrämpfe bekommen?
Eine Idee war es über die Definition von Vereinigung und Durchschnitt zu zeigen. Nur bin ich da auch nicht so recht weitergekommen. :(
Also:
A [mm] \cup [/mm] B = {x|x [mm] \in [/mm] A v x [mm] \in [/mm] B}
entspricht:
A + B - A [mm] \cap [/mm] B = {x|x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B}
Nur ist das so wohl höchstens eine gedankliche Schmiererei und kein Beweis, oder? Und vorallem, habe weiss ich nicht, wie ich die Anzahl | einbinden soll...
Den zweiten Teil der Aufgabe denke ich mittels normaler Überlegung und weiterführen des Gedankens hinter dem Beispiel mit zwei Mengen auch gelöst zu haben:
|A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C| = |A|+|B|+|C| - |A [mm] \cap [/mm] B| - |A [mm] \cap [/mm] C| - |B [mm] \cap [/mm] C| + |A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C|
Und nach Überprüfung mit einigen Mengen stimmt das auch. Erklären im wörtlichen Sinne kann ich auch, warum das so sein muss. Nur ich weiß nicht, wie ich das herleiten soll - außer, dass mir nach etwas Überlegen klar ist, dass es so sein muss.
Ich hoffe ihr könnt mir den einen oder anderen Schubser geben bevor ich da noch total dran verzweifle...
Update:
Ich weiß nicht ob ich was falsch gemacht habe, weil gerade hier sich niemand gemeldet hat oder ob es an der schwierigen Frage lag ;)
Jedenfalls weiss ich inzwischen wie man das zeigen könnte. Den ersten Teil kann man z.B. über die Venn-Mengendiagramme zeigen und den zweiten auch oder man leitet ihn aus dem ersten Teil her, in dem man zB einfach annimmt beim Teil A U B das B selbst eine Vereinigung zweier Mengen ist (B = C U D) und dann das einfach dafür einsetzt. C U D kann man dann wiederum auflösen, und irgendwann kriegt man einen Teil, wo man das Distributivitätsgesetz anwenden kann und man kommt dann exakt auf die oben bereits erwähnte Formel.
Hoffe das hilft jemanden der vor einem ähnlichen Problem steht und das im Archiv mal findet...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Fr 13.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo mickey
Dass du nicht schnell ne Antwort gekriegt hast liegt wohl daran, dass verschiedene Profs sehr verschiedene Ansichten darüber haben, wie formal ein Beweis sein muss.
> Man zeige für beliebige Teilmengen A und B einer Menge R:
>
> |A [mm]\cup[/mm] B| = |A| + |B| - |A [mm]\cap[/mm] B|
>
> Man leite daraus eine entsprechende Formel für |A U B U C|
> her. (Mit |M| wird die Anzahl der Elemente von M
> bezeichnet)
Wenn du die Gleichung:
|A [mm]\cup[/mm] B| = |A| + |B| - |A [mm]\cap[/mm] B|
umformst in :
|A [mm]\cup[/mm] B|+ |A [mm]\cap[/mm] B|= |A| + |B|
und dann einfach in Worten formulierst was |A [mm]\cup[/mm] B| ist:
"Die Anzahl aller Elemente von A und B, wobei die gemeinsamen Elemente nur einfach gezählt werden" entsprechend für |A [mm]\cap[/mm] B| dann ist dein Beweis eigentlich fertig.
Für den 2. Teil hast du recht einfach B [mm]\cap[/mm] C =B' und 1. anwenden.
Gruss leduart
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