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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Beweis Skalarprodukt
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Beweis Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Abbildung <·,·>: [mm] V\timesV [/mm] -> IR

[mm] <\pmat{ a1 & a2 \\ a2 & a3 },\pmat{ b1 & b2 \\ b2 & b3 }> =a_{1}b_{1}-2*a_{2}b_{3}-2*a_{3}b_{2}+3*a_{2}b_{2}+2*a_{3}b_{3} [/mm]

ein Skalarprodukt von V ist.



Hallo,

ich weiß, dass ich hier die 3 Voraussetzungen für ein Skalarprodukt beweisen muss. (Linearität,Symmetrie und positive Definitheit)
Allerdings verstehe ich schon beim Beweis der Linearität folgendes nicht:
[mm] [/mm]
Wie bekomme ich hier das "w" und das [mm] "\alpha" [/mm] in meine Formel hinein?
Dass hier "a" mit "u" und "b" mit "v" korrespondieren ist mir klar, doch irgendwie muss ich der rechten Seite ja noch "w" und [mm] "\alpha" [/mm] unterjubeln...

Freundliche Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Mo 13.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie, dass die Abbildung <·,·>: [mm]V\timesV[/mm] -> IR
>
> [mm]<\pmat{ a1 & a2 \\ a2 & a3 },\pmat{ b1 & b2 \\ b2 & b3 }> =a_{1}b_{1}-2*a_{2}b_{3}-2*a_{3}b_{2}+3*a_{2}b_{2}+2*a_{3}b_{3}[/mm]
>  
> ein Skalarprodukt von V ist.
>  
>
> Hallo,
>  
> ich weiß, dass ich hier die 3 Voraussetzungen für ein
> Skalarprodukt beweisen muss. (Linearität,Symmetrie und
> positive Definitheit)
>  Allerdings verstehe ich schon beim Beweis der Linearität
> folgendes nicht:
>  [mm][/mm]

>  Wie bekomme ich hier das "w" und das [mm]"\alpha"[/mm] in meine
> Formel hinein?

Hallo,

Du mußt prüfen, ob

[mm] <\pmat{ a1 & a2 \\ a2 & a3 }+t*\pmat{ c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 },\pmat{ b1 & b2 \\ b2 & b3 }> [/mm]

dasselbe ergibt wie

[mm] <\pmat{ a1 & a2 \\ a2 & a3 },\pmat{ b1 & b2 \\ b2 & b3 }> +t*<\pmat{ c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 },\pmat{ b1 & b2 \\ b2 & b3 }>. [/mm]

LG Angela






>  Dass hier "a" mit "u" und "b" mit "v" korrespondieren ist
> mir klar, doch irgendwie muss ich der rechten Seite ja noch
> "w" und [mm]"\alpha"[/mm] unterjubeln...
>  
> Freundliche Grüße
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Okay ich glaube, es hat mich gerade wie ein Blitz getroffen.

Wenn ich nun [mm]<\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 }+t*\pmat{ b_1 & b_2 \\ b_2 & b_3 },\pmat{ c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 }>[/mm] in die rechte Seite der Abbildung einfüge, erhalte ich folgende Gleichung:

[mm] (a_1+t*b_1)*c_1-(a_2+t*b_2)*2c_3-(a_3+t*b_3)*2c_2+(a_2+t*b_2)*3c_2+(a_3+t*b_3)*2c_3. [/mm]

Durch ausmultiplizieren komme ich dann auf:

[mm] a_1c_1-2a_2c_2-2a_3c_2+3a_2c_2+2a_3c_3 +t*(b_1c_1)-t*(2b_2c_3)-t*(2b_3c_2)+t*(3b_2c_2)+t*(2b_3c_3), [/mm]

was genau der Definition entspricht.

Ich hoffe, es sind keine Tippfehler drin.

Mal sehen, den Rest sollte ich mit der Vorgehensweise auch beweisen können.

Danke für die Hilfe! :)

Bezug
                        
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino


Bezug
                                
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Eine Frage habe ich noch:
Wie kann ich denn die positive Definitheit beweisen, wenn ich nur Variablen in meinen Matrizen habe?

Wenn ich <A,A> [mm] \ge [/mm] 0 habe und das ganze in die Formel einsetze, steht dort am Ende

[mm] a_1^2-4a_2a_3+3a_2^2+2a_3^2 [/mm]

Hier sieht es schon aus, als könnte die Gleichung nie <0 sein, aber beweisen kann ich das nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Verdammt nochmal, 2 Mitteilungen habe ich nun aus Versehen geschrieben. Nun ist es eine Frage.

Eine Frage habe ich noch, wie kann ich denn die positive Definitheit beweisen, wenn ich nur Variablen in meinen Matrizen habe?

Wenn ich <A,A> [mm] \ge [/mm] 0 habe und das ganze in die Formel einsetze, steht dort am Ende

[mm] a_1^2-4a_2a_3+3a_2^2+2a_3^2 [/mm]

Hier sieht es schon aus, als könnte die Gleichung nie <0 sein, aber beweisen kann ich das nicht.

Bezug
                                                
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mo 13.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Verdammt nochmal, 2 Mitteilungen habe ich nun aus Versehen
> geschrieben. Nun ist es eine Frage.
>  
> Eine Frage habe ich noch, wie kann ich denn die positive
> Definitheit beweisen, wenn ich nur Variablen in meinen
> Matrizen habe?
>  

Hallo,,

> Wenn ich <A,A> [mm]\ge[/mm] 0 habe und das ganze in die Formel
> einsetze, steht dort am Ende
>  
> [mm]a_1^2-4a_2a_3+3a_2^2+2a_3^2[/mm]

[mm] =a_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 -4a_2a_3+2a_2^2+2a_3^2 [/mm]

[mm] =a_1^2 [/mm] + [mm] a_2^2 +2(a_2^2-2a_2a_3+a_3^2) [/mm]

[mm] =a_1^2+a_2^2+2(a_2-a_3)^2 [/mm]

LG Angela

>  
> Hier sieht es schon aus, als könnte die Gleichung nie <0
> sein, aber beweisen kann ich das nicht.


Bezug
                                                        
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:53 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Aah jetzt seh ichs, die binomische Formel mal wieder :P

Danke vielmals für die Hilfe :)

Bezug
                                                                
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Aufgabe
Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis

[mm] B={\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }} [/mm]

von V eine Orthonormalbasis von V bezüglich des Skalarproduktes <*,*>


Die Aufgabe wird nicht einfacher...

Laut Skript genügt es aufgrund der Symmetrie des Skalarproduktes bei der Basis B [mm] ({B_i,B_j}) [/mm] die Matrizen für i<j zu prüfen.
Ich habe herausgefunden, dass [mm] B_1,B_2 [/mm] und [mm] B_2,B_3 [/mm] orthogonal, aber nicht normiert sind und [mm] B_3 [/mm] normier, aber nicht orthogonal ist.
Muss ich jetzt anfangen, [mm] B_1 [/mm] zu normieren - und wenn ja, wie - oder gibt es eine bessere Vorgehensweise?

Freundliche Grüße

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 13.01.2014
Autor: elduderino

Bin soeben von selbst drauf gekommen und finde leider nicht heraus, wie ich die Frage hier schließen kann.

Bezug
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