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Beweis Ungleichung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:11 Mo 20.04.2015
Autor: soffel

[mm] \wurzel{ab} [/mm] zweier posititiver rationaler Zahlen a,b ist stets größer oder gleich [mm] \bruch{2}{1/a+1/b} [/mm]

ich habe beides als Gleichung aufgelöst:
[mm] \bruch{2ab}{b+a} [/mm] < [mm] \wurzel{ab} [/mm]

aber wie komme ich jetzt weiter?

        
Bezug
Beweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mo 20.04.2015
Autor: abakus


> [mm]\wurzel{ab}[/mm] zweier posititiver rationaler Zahlen a,b ist
> stets größer oder gleich [mm]\bruch{2}{1/a+1/b}[/mm]

>

> ich habe beides als Gleichung aufgelöst:
> [mm]\bruch{2ab}{b+a}[/mm] < [mm]\wurzel{ab}[/mm]

>

> aber wie komme ich jetzt weiter?

Beide Seiten mal Nenner...
Beide Seiten durch die Wurzel...
Quadrieren...
Dann bist du nah an einer bekannten Ungleichung.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Beweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 Mo 20.04.2015
Autor: soffel

Hallo Abakus,
sorry, irgendwie hänge ich wieder...

2ab < [mm] \wurzel{ab} [/mm] * (b+a)
[mm] \wurzel{2ab} [/mm] < ab * [mm] \wurzel{b+a} [/mm]
2ab < a²b² * (b+a)

wie mach ich weiter? DANKE!!!

Bezug
                        
Bezug
Beweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Mo 20.04.2015
Autor: fred97


> Hallo Abakus,
>  sorry, irgendwie hänge ich wieder...

Hab ich Dir nicht gesagt, dass Du aus "<"  ein " [mm] \le" [/mm] machen sollst ??

>  
> 2ab < [mm]\wurzel{ab}[/mm] * (b+a)
>  [mm]\wurzel{2ab}[/mm] < ab * [mm]\wurzel{b+a}[/mm]


Wie kommst Du darauf ?????


Wir haben:

$2ab [mm] \le \wurzel{ab}* [/mm] (b+a)$

Wir dividieren durch [mm] \wurzel{ab} [/mm] und bekommen:

[mm] 2\wurzel{ab} \le [/mm] a+b.

Das ist äquivalent zu

0 [mm] \le a-2\wurzel{ab} [/mm] +b.


Nun denke an Herrn Binomi.

FRED

>  2ab < a²b² * (b+a)
>  
> wie mach ich weiter? DANKE!!!


Bezug
        
Bezug
Beweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Mo 20.04.2015
Autor: fred97


> [mm]\wurzel{ab}[/mm] zweier posititiver rationaler Zahlen a,b ist
> stets größer oder gleich [mm]\bruch{2}{1/a+1/b}[/mm]
>  
> ich habe beides als Gleichung

Gleichung ? Doch eher "Ungleichung".




> aufgelöst:
>  [mm]\bruch{2ab}{b+a}[/mm] < [mm]\wurzel{ab}[/mm]


Richtig wäre:

   [mm]\bruch{2ab}{b+a}[/mm] [mm] \le[/mm]  [mm]\wurzel{ab}[/mm]

FRED

>  
> aber wie komme ich jetzt weiter?


Bezug
                
Bezug
Beweis Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:34 Mo 20.04.2015
Autor: soffel

ja kleiner gleich ist richtig, hatte ich nur mit der Tastatur nicht hinbekommen :-)

Bezug
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