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Forum "Funktionen" - Beweis Zwischenwertsatz
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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Sa 10.12.2016
Autor: X3nion

Guten Abend! :-)

Ich habe Fragen zum Beweis des Zwischenwertsatzes.

Im Forster steht der Satz wie folgt geschrieben:

Satz: Sei f :[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(a) < 0 und f(b) > 0 (bzw. f(a) > 0 und f(b) < 0). Dann existiert ein p [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(p) = 0.

Beweis: Man benutze die Intervall-Halbierungsmethode. Sei f(a) < 0 und f(b) > 0. Man definiere induktiv eine Folge [mm] [a_n, b_n] \subset [/mm] [a,b], [mm] n\in\IN, [/mm] von Intervallen mit folgenden Eigenschaften:

(1) [mm] [a_n, b_n] \subset [a_{n-1},b_{n-1}] [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1

(2) [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{-n}(b-a) [/mm]

(3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.


Induktionsanfang: Man setze [mm] [a_0, b_0] [/mm] := [a,b]

Induktionsschritt: Sei das Intervall [mm] [a_n, b_n] [/mm] bereits definiert und sei m:= [mm] \frac{a_n + b_n}{2} [/mm] die Mitte des Intervalls. Es können nun zwei Fälle auftreten:

1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].

2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n]. [/mm]

Es sind offenbar wieder die Eigenschaften (1) - (3) für n+1 erfüllt. Es folgt, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt und die Folge [mm] (b_n) [/mm] monoton fallend und beschränkt ist. Also konvergieren beide Folgen und wegen (2) gilt

[mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] lim_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] =: p.

Aufgrund der Stetigkeit von f ist lim [mm] f(a_n) [/mm] = lim [mm] f(b_n) [/mm] = f(p). Aus (3) folgt wegen [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 [mm] \forall n\in\IN, [/mm] dass auch lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist und somit

f(p) = lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0. Analog ist f(p) = lim [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.

Daher gilt f(p) = 0.

---

Nun zu meinen Fragen:

i) Wieso genau folgt, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt und die Folge [mm] (b_n) [/mm] monoton fallend und beschränkt ist?
Es macht durchaus Sinn, aber wie könnte man das mathematisch korrekt zeigen?

ii) Wieso genau gilt wegen (2) [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] lim_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] ? Ist es so, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n\in\IN [/mm] existiert, sodass [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{-n} [/mm] (b-a) < [mm] \epsilon [/mm] ist und [mm] b_n [/mm] konvergent gegen [mm] a_n, [/mm] lim [mm] b_n [/mm] = lim [mm] a_n [/mm] ?

iii) Wieso kann man sagen, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist? Klar, es wurde oben in (3) definiert, dass [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist. Aber wegen des im Induktionsschritt definierten 2. Falles (falls f(m) < 0, setze [mm] a_{n+1} [/mm] = m und [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n) [/mm] muss doch eigentlich immer strikt gelten [mm] f(a_n) [/mm] < 0 und es könnte dann doch eigentlich strikt genommen nie Gleichheit [mm] f(a_n) [/mm] = 0 eintreten, oder?


Für eure Antworten wäre ich dankbar, wie immer :-)

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Sa 10.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo X3nion,

zum besseren Verständnis hilft es, dir einfach mal den Zwischenwertsatz an einem beliebigen Beispiel zu überlegen bzw zu skizzieren.

Überleg dir bspw mal am Intervall [1,3] warum die Folge [mm] $a_n$ [/mm] monoton steigt und warum $ [mm] b_n [/mm] $ moton fällt. Die Folgen sind beschränkt wegen [mm] $a_n, b_n \in [/mm] [a,b] $ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Dann wird auch deine Frage zu 3) schnell klar.

LG,
ChopSuey

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Bezug
Beweis Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Sa 10.12.2016
Autor: X3nion

Hallo ChopSuey,

danke für's Antwort!
Mhm wobei eine Skizze ja keinerlei Beweiskraft hat ;-)

Ich denke ich habe es und versuche es einmal logisch:

Für [mm] a_{n+1} [/mm] gibt es 2 Möglichkeiten:
- [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] oder
- [mm] a_{n+1} [/mm] = m = [mm] \frac{a_n + b_n}{2}. [/mm]

Wegen [mm] a_n \le b_n [/mm] ist [mm] a_{n+1} [/mm] = m = [mm] \frac{a_n + b_n}{2} \ge \frac{a_n + a_n}{2} [/mm] = [mm] \frac{2a_n}{2} [/mm] = [mm] a_n [/mm]

Also insgesamt [mm] a_{n+1} \ge a_n. [/mm]

Analog ergibt sich [mm] b_{n+1} \le b_n. [/mm]

Wäre das so mathematisch korrekt aufgeschrieben?


Zu 3) Es folgt ja aus f(m) [mm] \ge [/mm] 0, dass man [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] = m setzt. Somit hätte man ja [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.

Aber aus f(m) < 0 folgt ja, dass man [mm] a_{n+1} [/mm] = m und [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] setzt. Aber dann erhält man doch nie Gleichheit [mm] f(a_n) [/mm] = 0, sondern immer [mm] f(a_n) [/mm] < 0.

Das verstehe ich noch nicht.


Gruß X3nion

Bezug
                        
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Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Sa 10.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo X3nion,

Es geht nicht darum, dass du mittels Skizze den Zwischenwertsatz beweisen sollst. Der Beweis steht ja im Forster. Es geht darum, dass du nachvollziehen kannst, warum $ [mm] a_n$ [/mm] monoton steigt und beschränkt ist und [mm] $b_n$ [/mm] monoton fällt und beschränkt ist.

> Zu 3) Es folgt ja aus f(m) [mm]\ge[/mm] 0, dass man [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm]
> und [mm]b_{n+1}[/mm] = m setzt. Somit hätte man ja [mm]f(b_n) \ge[/mm] 0.
>  
> Aber aus f(m) < 0 folgt ja, dass man [mm]a_{n+1}[/mm] = m und
> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]b_n[/mm] setzt. Aber dann erhält man doch nie
> Gleichheit [mm]f(a_n)[/mm] = 0, sondern immer [mm]f(a_n)[/mm] < 0.
>  
> Das verstehe ich noch nicht.

Es gilt doch [mm] $f(a_n) \le [/mm] 0$ und $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 $ und $ [mm] \lim a_n [/mm] = [mm] \lim b_n [/mm] =: p$ für ein festes $ p [mm] \in [/mm] [a,b]$.

Da $ f $ stetig ist, folgt dann unmittelbar $ [mm] \lim f(a_n) [/mm] = [mm] \lim f(b_n) [/mm] = f(p)$, aus [mm] $f(a_n) \le [/mm] 0$ und wegen $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 $ ist $ f(p) = 0$.

Der Fall dass $f(p) < 0$ oder $f(p) > 0 $ für unser $ p $ kann aufgrund der Konvergenz der Folgen und der Stetigkeit von $ f $ nicht eintreten.

Wie gesagt, mach dir mal ne Skizze und wende die Intervallhalbierungsmethode auf dein Fallbeispiel an. Dann wirst du schnell dahinterkommen, wie der Beweis vom Forster funktioniert.

LG,
ChopSuey


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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Di 13.12.2016
Autor: X3nion

Hallo ChopSuey,

danke für deinen Post.

Im Forster ist eine Skizze, diese habe ich nun genauer betrachtet.

Dennoch komme ich irgendwie nicht mit den Bedingungen [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 zurecht.

Die Fallunterscheidung von f(m) lautet ja wie folgt:

1. Fall:  Wenn f(m)  [mm] \ge [/mm]  0, dann sei  [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm]  :=  [mm] [a_n, [/mm] m].

2. Fall: f(m) < 0. Dann sei  [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm]  := [m,  [mm] b_n]. [/mm]

Somit gilt ja immer strikt [mm] f(a_n) [/mm] < 0.

> Man benutze die Intervall-Halbierungsmethode. Sei f(a) < 0 und f(b) > 0.
> Man definiere induktiv eine Folge $ [mm] [a_n, b_n] \subset [/mm] $ [a,b], $ [mm] n\in\IN, [/mm] $
> von Intervallen mit folgenden Eigenschaften:

> (1) $ [mm] [a_n, b_n] \subset [a_{n-1},b_{n-1}] [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 1
> (2) $ [mm] b_n [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] 2^{-n}(b-a) [/mm] $
> (3) $ [mm] f(a_n) \le [/mm] $ 0, $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] $ 0.

Könnte man also bei (3) anstatt [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 auch [mm] f(a_n) [/mm] < 0 schreiben?
Aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] würde ja auch gelten lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, oder?

Somit würde dann wegen der Stetigkeit von f gelten lim $ [mm] f(a_n) [/mm] $ = lim $ [mm] f(b_n) [/mm] $ = f(p) und f(p) = lim $ [mm] f(a_n) \le [/mm] $ 0. Analog ist f(p) = lim $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] $ 0.

Mir geht es eben darum, ob bei (3) das [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 nicht auch [mm] f(a_n) [/mm] < 0 als Bedingung ausreichen würde.


Viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:02 Di 13.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo X3nion,

es muss [mm] $a_n \le [/mm] 0$ bzw [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ gelten. Das folgt aus dem Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu auch die entsprechende Definition.

LG,
ChopSuey

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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 Di 13.12.2016
Autor: X3nion

Hallo ChopSuey,

> es muss [mm] $a_n \le [/mm] 0$ bzw [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ gelten. Das folgt aus dem
> Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu auch die
> entsprechende Definition.

du meinst sicher [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 oder?

Hm ich verstehe das immer noch nicht. Kann man nicht aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 folgern, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist?

> LG,
> ChopSuey

Viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 Mi 14.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Hallo ChopSuey,
>  
> > es muss [mm]a_n \le 0[/mm] bzw [mm]b_n \ge 0[/mm] gelten. Das folgt aus dem
> > Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu
> auch die
> > entsprechende Definition.
>  
> du meinst sicher [mm]f(a_n) \le[/mm] 0 und [mm]f(b_n) \ge[/mm] 0 oder?

Ja, genau. Danke.

>  
> Hm ich verstehe das immer noch nicht. Kann man nicht aus
> [mm]f(a_n)[/mm] < 0 folgern, dass lim [mm]f(a_n) \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

0 ist?

nein, warum sollte das gelten?

Die Definition von $f(a_n) } \le 0 \le f(b_n)$ ist nur sinnvoll, da $ f $ stetig ist.
Würdest du $ f(a_n) < 0 < f(b_n)$ definieren gäbe es ja offensichtlich eine $ \varepsilon$-Umgebung um den Punkt $ p = 0$ mit $ f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p) $. Das kann aber nicht sein, wenn $ f $ stetig sein soll und $p \in [a,b]$. Daraus folgt nämlich unmittelbar dass auch $ f(p) \in [f(a),f(b)]$

LG,
ChopSuey

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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:20 Mi 14.12.2016
Autor: X3nion

Hallo ChopSuey,

> Würdest du  [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n) [/mm]  definieren gäbe es ja offensichtlich eine  
> [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den Punkt p = 0 mit [mm] f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p). [/mm]

Wieso würde man dann eine [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um p=0 finden mit [mm] f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p) [/mm] ?
Es würde ja dann gelten [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n), [/mm] aber wieso erwähnst du nun p=0? die "0" in [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n) [/mm] ist doch ein y-wert und keine Stelle auf der x-Achse.


Ich habe ja gefragt, ob man nicht aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 folgern kann, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist, bzw. aus [mm] f(b_n) [/mm] > 0 dass lim [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 ist.
Für die Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] wäre es doch der Fall, dass [mm] a_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n, aber lim [mm] a_n [/mm] = 0.
Und angenommen ich betrachte die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] mit [mm] f(a_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}, [/mm] so wäre es ja genau dasselbe.

Auf der anderen Seite kann man aber auf jeden Fall aus [mm] f(a_n) \le [/mm]  0 bzw. [mm] f(b_n) \ge [/mm]  0 folgern, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 ist, denn das macht ja der Autor im Beweis.


Viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:52 Do 15.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich meinte natürlich $ f(p) = 0$. Also $ [mm] f(a_n) \le\underbrace {f(p)}_{0} \le f(b_n) [/mm] $.

Aus $ [mm] f(a_n) [/mm] < 0 $ kann folgen dass $ [mm] \lim f(a_n) [/mm] = 0$, muss es aber nicht.

Ich lass die Frage mal offen. Vielleicht findet sich jemand, der dir besser helfen kann.

LG
ChopSuey



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Beweis Zwischenwertsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Do 15.12.2016
Autor: leduart

Hallo
je nach Funktion kannst du doch schon beim ersten oder einem der folgenden Schritte auf [mm] f(a_n)=0 [/mm] stoßen, dann bist du fertig und brauchst nicht weiter unterteilen, wenn du es tust bleibt [mm] a_n [/mm] eben immer erhalten wegen [mm] f(a_n)=0 [/mm] und nur [mm] b_n [/mm] rückt darauf zu.
dummes Beispiel [mm] f(x)=x^2-1 [/mm] f(1,5)>0 f(0,5)<0  m=(1,5+0,5)/2=1 ,f(m)=0  und du bist fertig
wenn f(an)=0 bist du natürlich auch fertig.
Gruß ledum

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Beweis Zwischenwertsatz: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:06 Do 15.12.2016
Autor: X3nion

Guten Abend ihr beiden,

danke für eure Beiträge!

Ja klar kann man schon im ersten oder n-ten Schritt darauf stoßen, dass f(m) = 0 ist. Dann wird im Beweis [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] gesetzt und [mm] a_n [/mm] rückt immer weiter auf.


Mein Verständnisproblem:

Ich komme nur mit dem im Beweis definierten Punkt (3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 nicht zurecht, da ja niemals [mm] f(a_n) [/mm] = 0 gelten kann wegen

1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].

2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n]. [/mm]

Auf der anderen Seite kann [mm] f(b_n) [/mm] = 0 gelten wegen dem 1. Fall


Nun hat ChopSuey ja gesagt, dass aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 nicht unbedingt folgen muss, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 (also insbesondere lim [mm] f(a_n) [/mm] = 0) ist.
Der Forster folgert aus [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist.

Meine Frage: muss man [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 fordern, damit man am Ende lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 folgern kann?


Viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:32 Fr 16.12.2016
Autor: X3nion

Guten Abend zusammen

da die Fälligkeit abgelaufen ist, möchte ich mein Verständnisproblem nochmals stellen.

Ja klar kann man schon im ersten oder n-ten Schritt darauf stoßen, dass f(m) = 0 ist. Dann wird im Beweis [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] gesetzt und [mm] a_n [/mm] rückt immer weiter auf.


Mein Verständnisproblem:

Ich komme nur mit dem im Beweis definierten Punkt (3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 nicht zurecht, da ja niemals [mm] f(a_n) [/mm] = 0 gelten kann wegen

1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].

2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n]. [/mm]

Auf der anderen Seite kann [mm] f(b_n) [/mm] = 0 gelten wegen dem 1. Fall


Nun hat ChopSuey ja gesagt, dass aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 nicht unbedingt folgen muss, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 (also insbesondere lim [mm] f(a_n) [/mm] = 0) ist.
Der Forster folgert aus [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist.

Meine Frage: muss man [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 fordern, damit man am Ende lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 folgern kann, und formuliert der Forster deshalb die Bedingung [mm] f(a_n) \le [/mm] 0?
Oder würde man aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 auch folgern können, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist?


Für Antworten wie immer sehr dankbar und viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Di 20.12.2016
Autor: hippias

Man kann leicht beweisen:
1. Ist [mm] $(x_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] $x_{n}\leq [/mm] 0$ für alle $n$, so ist [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n}\leq [/mm] 0$.
2. Ist [mm] $(x_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] $x_{n}< [/mm] 0$ für alle $n$, so ist [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n}\leq [/mm] 0$.

Der zweite Fall ist im ersten eingeschlossen. Zur Veranschaulichung mag das Beispiel [mm] $x_{n}= -\frac{1}{n}$ [/mm] dienen.

Bezug
                                                                                                                
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Beweis Zwischenwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Di 20.12.2016
Autor: X3nion

Hallo hippias,

danke für deinen Beitrag!

Ich versuche mal zu beweisen:

Zu 1)

Es sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] x_n [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und bezeichne a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \in \IR [/mm] ihren Grenzwert.
Dann gibt es zu vorgegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt: [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon [/mm] bzw. a - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < a + [mm] \epsilon [/mm]

Angenommen es ist a > 0. Da a > 0, existiert ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass a - [mm] \epsilon [/mm] = 0 ist. Somit folgt der Widerspruch wegen [mm] x_n [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] aber [mm] x_n [/mm] > a - [mm] \epsilon [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0. [/mm]

Also muss doch a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \le [/mm] 0 gelten.

Zu 2)

Es sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] x_n \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und sei a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \in \IR [/mm] ihr Grenzwert.
Dann gibt es zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] ist.
Angenommen es sei a > 0.
Dann gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \epsilon. [/mm]

Somit gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |x_n [/mm] - [mm] \epsilon| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0. [/mm]
Wegen [mm] x_n \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n ist [mm] x_n [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < 0.
Den Betrag aufgelöst, ergibt sich

[mm] -x_n [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] <=> [mm] x_n [/mm] > 0

der Widerspruch [mm] x_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0. [/mm]

Folglich muss doch [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \le [/mm] 0 gelten.


Wäre das soweit in Ordnung?

Viele Grüße,
X3nion

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Beweis Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 20.12.2016
Autor: hippias

Ja, das ist richtig. Ich finde es aber umständlich beide Aussagen zu beweisen, denn aus 2. folgt 1..

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Beweis Zwischenwertsatz: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:17 Do 22.12.2016
Autor: X3nion

Hallo an alle, die an meinem Beitrag mitgewirkt haben.
Mir ist der Beweis nun insgesamt klar geworden!

Viele Grüße,
X3nion



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