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Beweis des Satz von Kuratowski: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:43 So 25.08.2013
Autor: Thorstenius

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!

Ich versuche gerade den Beweis zum Satz von Kuratowski zu verstehen und hoffe auf eure Hilfe.

Kuratowskis Satz:
Ein Graph ist genau dann planar, wenn er keine Unterteilung von [mm] $K_5$ [/mm] oder [mm] $K_{3,3}$ [/mm] als Subgraph enthält.

Hier ein Teil des Beweises (Auszug aus dem Skript von Prof. Wagner am Karlsruher Institut für Technologie[0]):

Wir haben bereits gezeigt, dass [mm] $K_5$ [/mm] und [mm] $K_{3,3}$ [/mm] nicht planar sind. Damit ist klar, dass ein planarer Graph keine Unterteilung des [mm] $K_5$ [/mm] bzw. [mm] $K_{3,3}$ [/mm] als Subgraph enthalten kann. Es bleibt zu zeigen, dass jeder Graph, der keine Unterteilung des [mm] $K_5$ [/mm] bzw. [mm] $K_{3,3}$ [/mm] als Subgraph enthält, planar ist.
Wir führen eine Induktion über die Anzahl n der Knoten des Graphen $G = (V, E)$ durch. Für $n [mm] \le [/mm] 4$ gilt die Behauptung, da [mm] $K_4$ [/mm] planar ist. Für $n [mm] \ge [/mm] 5$ führen wir eine Induktion über die Anzahl m der Kanten des Graphen durch.
Wenn der Graph $m = 0$ Kanten enthält, ist G trivialerweise planar. Gelte also die Behauptung für alle Graphen mit weniger als n Knoten oder n Knoten und echt weniger als m Kanten. $G = (V,E)$ sei ein Graph mit $|V| = n [mm] \ge [/mm] 5$ und $|E| = m$. Wir machen eine Fallunterscheidung nach [mm] $\kappa(G)$. [/mm]


Den kompletten Beweis findet man im Skript[0] ab Seite 16ff.

Ich verstehe den Fall 1 und 2 für [mm] $\kappa(G) [/mm] = 0$ bzw. [mm] $\kappa(G) [/mm] = 1$. Kann jedoch die anderen Fälle nicht nachvollziehen. Evtl. hat jemand einen anschaulicheren Beispiel oder kann den Beweis für Fall 3 und 4 besser erklären?

[0]: http://i11www.iti.uni-karlsruhe.de/_media/teaching/sommer2009/planargraphs/vorlesung.pdf

Freundliche Grüße
Thorsten

        
Bezug
Beweis des Satz von Kuratowski: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 27.08.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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