matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraBeweis einer Gruppe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Beweis einer Gruppe
Beweis einer Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis einer Gruppe: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 So 16.11.2014
Autor: AlincheN123

Aufgabe
Sei (R, +, ·) ein Ring mit Eins.
Sei U(R)={r∈R|r besitzt ein Inverses bzgl.· inR}={r∈R|∃s∈R:rs=sr=1}.
Zeigen Sie, dass (U (R), ·) eine Gruppe ist. Diese Gruppe nennt man Einheitengruppe von R.

Nun habe ich mir nochmal die Voraussetzungen einer Gruppe rausgeschrieben:
1. . ist assoziativ
2. es existiert ein neutrales Element
3. es existiert ein inverses Element

Muss ich nun die Multiplikation explizit beweisen weil es ja eigentlich logisch ist und wenn ja wie mache ich das dann? oder reicht es zu sagen es ist unabhängig wo ich die Klammern setze beziehungsweise ob ich welche verwende?

zu2. habe ich mal aufgeschrieben das [mm] (s*r)^{-1} [/mm] = e ist und das halt dann durch Umformungen gezeigt ist das soweit richtig?

zu3. habe ich gezeigt das s=s´ist auch durch Umformungen ist das korrekt?

dann sollte ich noch die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zeigen da hab ich dann gar keinen Ansatz mehr leider.

Könnte mir jemand helfen bitte

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis einer Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 So 16.11.2014
Autor: sissile

Hallo,

Ich schätze mit dem Untergruppenkriterium darfst du nicht arbeiten?

Definition eine Gruppe:
Es sei [mm] G\not= \emptyset [/mm] eine Menge und [mm] \* [/mm] eine binäre Operation auf G(d.h. eine Abbildung G [mm] \times [/mm] G ->G).
Gelten die folgenden drei Eigenschaften:
1) (a*b)*c=a*(b*c) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] G
2) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: a*e=e*a=a
3) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: [mm] \exists a^{-1} \in [/mm] G: a [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] a =e


-)
Also nach Definition müssen wir zuerst überprüfen ob U(R) [mm] \not= \emptyset. [/mm]
U(R)={r∈R|∃s∈R:rs=sr=1}
1 [mm] \in [/mm] U(R)
Frage:Warum ist 1 überhaupt [mm] \in [/mm] R?

-)
Dann das es sich um eine binäre Operation handelt, d.h. wenn [mm] a\in [/mm] U(R) und b [mm] \in [/mm] U(R) ist, dass dann auch die Verknüpfung a*b [mm] \in [/mm] U(R) ist.
Ich rechne dir das mal vor:
a [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists s\inR: [/mm] as=sa=1
b [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists t\inR: [/mm] bt=tb=1
ZuZeigen: [mm] ab\in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] R: k(ab)=(ab)k=1
[mm] (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=e [/mm]
[mm] (b^{-1} a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1} a)b=b^{-1}b=e [/mm]
Frage: Warum darf ich hier die Assoziativität benutzen?

Also wähle ich [mm] k:=b^{-1}a^{-1} \in [/mm] R
Frage:Warum ist k [mm] \in [/mm] R?

-) Assoziativgesetz
Du hast schon irgendweo recht mit es ist ja logisch, dass es gilt. Aber das musst du begründen.
Das Assoziativgesetz gilt bezüglich der Multiplikation im ganzen Ring R. Da du dir mit U(R) bestimmte Elemente des Rings auswählst, die eine bestimmte Aussage erfüllen, gilt für die auch das Assoziativgesetz.


-) Neutrale Element

> $ [mm] (s\cdot{}r)^{-1} [/mm] $ = e

? Was magst du damit sagen?
Schau dir mal das neutrale Element bezüglich der Multiplikation im Ring an. Ist es auch in U(R)?

-) Inverse Element

> habe ich gezeigt das s=s´ist auch durch Umformungen ist das korrekt?

??
Du fangst so an:
Sei a [mm] \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] R: as=sa=1
ZuZeigen: [mm] a^{-1} \in [/mm] U(R), d.h. [mm] \exists [/mm] t [mm] \in R:a^{-1}t=ta^{-1}=1 [/mm]
Siehst du was t ist?

LG,
sissi

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Gruppe: Aufgabe 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 So 23.11.2014
Autor: AlincheN123

Vielen Dank für deine Hilfe :)

ich konnte diese Aufgabe mit den gegebenen Tipps lösen.

Liebe Grüße



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]