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Beweis mit Induktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mo 19.11.2012
Autor: missjanine

Aufgabe
Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl ist und [mm] n\in\IN\cup{0}. [/mm] Dann gilt [mm] a^n=1 [/mm]

Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so möglich?
Für n=0 ist bekannt, dass [mm] a^0=1. [/mm] Beweis des Induktionsanfangs
Im Folgenden nehme ich an, dass [mm] a^n=a^{n-1}=1 [/mm] gilt und zeige, dass [mm] a^{n+1}=1 [/mm] folgt. Also schreibe ich:
[mm] a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}= [/mm] (wegen Induktionsvoraussetzung) [mm] \bruch{1*1}{1}=1 [/mm]

Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede natürliche Zahl n gezeigt.

        
Bezug
Beweis mit Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 19.11.2012
Autor: Axiom96

Hallo,

> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
>  Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so
> möglich?
>  Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> Induktionsanfangs
>  Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm]

Dann musst du den Induktionsanfang für zwei kleinste n durchführen.

> gilt und
> zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
>  [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
>  
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.

Viele Grüße

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Mo 19.11.2012
Autor: angela.h.b.


> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]

Hallo,

wie lautet den die komplette Aufgabe im Originalwortlaut?

Das da oben ist etwas strange.

LG Angela


Bezug
        
Bezug
Beweis mit Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mo 19.11.2012
Autor: Helbig


> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
>  Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so
> möglich?
>  Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> Induktionsanfangs
>  Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm] gilt und
> zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
>  [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
>  
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.

Nein. Der Induktionsschritt muß für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] gezeigt werden, also auch für $n=0$. In dem Fall wird aber [mm] $a^{n-1} [/mm] = 1$ nicht von der Induktionsvoraussetzung abgedeckt. Wenn Du also noch den Induktionsschritt [mm] $0\to [/mm] 1$, also [mm] $a^1=1$, [/mm] zeigst, ist Dein Beweis perfekt. Also bitte ...

Die Induktionsvoraussetzung wird hier übrigens in einer etwas verallgemeinerten, aber dennoch gültigen Form gebraucht, und zwar: Die Aussage A(k) stimmt für alle [mm] $k\in \IN, [/mm] k< n+1$.

EDIT: Korrigiert nach Hinweis von Axiom96. Danke!

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Induktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 20:41 Mo 19.11.2012
Autor: Axiom96


> > Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> > ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
>  >  Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das
> so
> > möglich?
>  >  Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> > Induktionsanfangs
>  >  Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm] gilt und
> > zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
>  >  [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> > Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
>  >  
> > Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> > natürliche Zahl n gezeigt.
>
> Nein. Der Induktionsschritt muß für jedes [mm]n\in \IN[/mm]
> gezeigt werden, also auch für [mm]n=0[/mm]. In dem Fall wird aber
> [mm]a^{n-1} = 1[/mm] nicht von der Induktionsvoraussetzung
> abgedeckt. Wenn Du also noch den Induktionsschritt [mm]0\to 1[/mm],
> also [mm]a^1=1[/mm], zeigst, ist Dein Beweis perfekt. Also bitte
> ...
>  
> Die Induktionsvoraussetzung wird hier übrigens in einer
> etwas verallgemeinerten, aber dennoch gültigen Form
> gebraucht, und zwar: Die Aussage A(n) stimmt für alle [mm]n\in \IN, n< n+1[/mm].

Ich glaube, es müsste lauten: Die Aussage A(n) gilt für alle [mm] n\in\IN, n<\bar{n}\implies(?) A(\bar{n}) [/mm] heißen, oder? Denn es gibt nur ein n<n+1, nämlich gerade $n$. Aber ich kann mich täuschen...

> Gruß,
>  Wolfgang
>  

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Beweis mit Induktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 21:16 Mo 19.11.2012
Autor: Helbig

Hallo Axiom96,

> Ich glaube, es müsste lauten: Die Aussage A(n) gilt für
> alle [mm]n\in\IN, n<\bar{n}\implies(?) A(\bar{n})[/mm] heißen,
> oder? Denn es gibt nur ein n<n+1, nämlich gerade [mm]n[/mm]. Aber
> ich kann mich täuschen...

Nein, Du täuschst Dich nicht. Ich hab's korrigiert. Danke!

Gruß,
Wolfgang


Bezug
        
Bezug
Beweis mit Induktion: Wundere mich
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Di 20.11.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich wundere mich über zweierlei:

> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]

1.
Warum regt sich eigentlich außer mir keine über die gepostete Aufgabenstellung auf?
"Beweise, daß a eine beliebige positive reelle Zahl ist"... Tssss...

>  Ich will dies nun mittels Induktion beweisen.
> [...]
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.

2.
Warum wunderst Du Dich nicht darüber, daß Du die Aussage
"Für jede reelle positive Zahl und jedes [mm] n\in \IN [/mm] ist [mm] a^n=1 [/mm] "
beweisen konntest?
Du hast immerhin gerade gezeigt, daß [mm] 13^{4711}=1... [/mm]
(Einen Tip hast Du ja bereits bekommen.)

LG Angela


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich wundere mich über zweierlei:
>  
> > Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> > ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
>  
> 1.
> Warum regt sich eigentlich außer mir keine über die
> gepostete Aufgabenstellung auf?

Hallo Angela,

ich kann Dich beruhigen. Ich rege mich auch auf.

Ich habe die "Aufgabe" aber erst vor 2 Minuten zum ersten mal gesehen.

Gruß FRED

>  "Beweise, daß a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist"... Tssss...
>  
> >  Ich will dies nun mittels Induktion beweisen.

>  > [...]

>  > Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede

> > natürliche Zahl n gezeigt.
>
> 2.
>  Warum wunderst Du Dich nicht darüber, daß Du die Aussage
> "Für jede reelle positive Zahl und jedes [mm]n\in \IN[/mm] ist
> [mm]a^n=1[/mm] "
>  beweisen konntest?
>  Du hast immerhin gerade gezeigt, daß [mm]13^{4711}=1...[/mm]
>  (Einen Tip hast Du ja bereits bekommen.)
>  
> LG Angela
>  


Bezug
                        
Bezug
Beweis mit Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Di 20.11.2012
Autor: angela.h.b.


> Ich rege mich auch auf.

Hallo Fred,

das ist prima!

Dann bin ich jetzt wieder ganz ruhig.

LG Angela


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