Beweis mit limsup und liminf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{k})_{k\in\IN} [/mm] eine Folge positiver Zahlen. Zeige
lim inf [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le [/mm] lim inf [mm] \wurzel[n]{a_{n}} \le [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{a_{n}} \le [/mm] lim sup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] |
Hallo,
bei diesem Beweis komme ich einfach nicht weiter. Es ist ja klar, dass der kleinste Häufungswert immer kleiner oder gleich dem größten entsprechenden Häufungswert ist. Zu zeigen bleiben also das erste und das dritte [mm] "\le".
[/mm]
Und da hakts bei mir; ich weiß noch nicht mal, wie ich zeigen soll, dass die Häufungswerte in jedem Fall existieren. Was wenn [mm] (a_{k}) [/mm] divergent und nicht monoton ist?
Würde mich über einen Denkanstoß und/ oder Lösungsansatz freuen!
Viele Grüße,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 22.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Und da hakts bei mir; ich weiß noch nicht mal, wie ich
> zeigen soll, dass die Häufungswerte in jedem Fall
> existieren. Was wenn [mm](a_{k})[/mm] divergent und nicht monoton
> ist?
Das kannst du auch nicht zeigen, weil es natürlich nicht stimmt. Sicherlich existieren die [mm] $\liminf$, [/mm] da die Folgen positiv sind, doch z.B. für [mm] $a_n:=n!$ [/mm] existiert zwar [mm] $\limsup\sqrt[n]{a_n}$, [/mm] aber [mm] $\limsup\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] existiert nicht.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Und da hakts bei mir; ich weiß noch nicht mal, wie ich
> > zeigen soll, dass die Häufungswerte in jedem Fall
> > existieren. Was wenn [mm](a_{k})[/mm] divergent und nicht monoton
> > ist?
>
> Das kannst du auch nicht zeigen, weil es natürlich nicht
> stimmt. Sicherlich existieren die [mm]\liminf[/mm], da die Folgen
> positiv sind, doch z.B. für [mm]a_n:=n![/mm] existiert zwar
> [mm]\limsup\sqrt[n]{a_n}[/mm], aber [mm]\limsup\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
> existiert nicht.
Na ja, das ist Vereinbarungssache. Ist eine nicht negative Folge [mm] (a_n) [/mm] nicht nach oben beschränkt, so setzt man: limsup [mm] a_n [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
FRED
>
> Gruß, Robert
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Hallo Robert,
Danke für Deine schnelle Antwort. Du bestätigst mein Gefühl, dass die Aufgabenstellung nicht ganz wasserdicht ist. Wie würde sie denn richtig lauten?
Deine Argumentation zum lim inf scheint mir aber falsch. Ich verstehe Dich so, dass der limes inferior existieren muss, weil die Folgen durch Null oder eine größere Zahl nach unten beschränkt sind. Das heißt aber nicht, dass diese Zahl auch ein Häufungswert (d.h. nach der mir vorliegenden Def. ein Wert mit unendlich vielen Folgegliedern in jeder seiner Epsilon-Umgebungen) ist, z.B. gilt lim inf n! = lim sup n! = lim n! = [mm] \infty.
[/mm]
Trotzdem ist das bei der Folge und auch bei [mm] n^2 [/mm] kein Problem, weil sie uneigentlich konvergieren. Muss ich die wirklichen Problemkandidatien denn umschiffen, indem ich divergente, nicht monotone Folgen aus dem Beweis ausschließe, oder ist das nicht nötig bzw. sogar falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Robert,
>
> Danke für Deine schnelle Antwort. Du bestätigst mein
> Gefühl, dass die Aufgabenstellung nicht ganz wasserdicht
> ist. Wie würde sie denn richtig lauten?
>
> Deine Argumentation zum lim inf scheint mir aber falsch.
> Ich verstehe Dich so, dass der limes inferior existieren
> muss, weil die Folgen durch Null oder eine größere Zahl
> nach unten beschränkt sind. Das heißt aber nicht, dass
> diese Zahl auch ein Häufungswert (d.h. nach der mir
> vorliegenden Def. ein Wert mit unendlich vielen
> Folgegliedern in jeder seiner Epsilon-Umgebungen) ist, z.B.
> gilt lim inf n! = lim sup n! = lim n! = [mm]\infty.[/mm]
>
> Trotzdem ist das bei der Folge und auch bei [mm]n^2[/mm] kein
> Problem, weil sie uneigentlich konvergieren. Muss ich die
> wirklichen Problemkandidatien denn umschiffen, indem ich
> divergente, nicht monotone Folgen aus dem Beweis
> ausschließe, oder ist das nicht nötig bzw. sogar falsch?
Das ist nicht die richtige Frage !
1. Die Folgenglieder [mm] a_n [/mm] sind alle positiv.
2.Zeige: [mm] (a_{n+1}/a_n) [/mm] ist beschränkt [mm] \gdw (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] ist beschränkt.
3.Nun unterscheide 2 Fälle: a) [mm] (a_{n+1}/a_n) [/mm] beschränkt
b) [mm] (a_{n+1}/a_n) [/mm] nicht beschränkt
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Robert,
>
> Danke für Deine schnelle Antwort. Du bestätigst mein
> Gefühl, dass die Aufgabenstellung nicht ganz wasserdicht
> ist. Wie würde sie denn richtig lauten?
doch, sie ist wasserdicht, man muss nur auch das lesen, was Fred geschrieben hat.
> Deine Argumentation zum lim inf scheint mir aber falsch.
> Ich verstehe Dich so, dass der limes inferior existieren
> muss, weil die Folgen durch Null oder eine größere Zahl
> nach unten beschränkt sind. Das heißt aber nicht, dass
> diese Zahl auch ein Häufungswert (d.h. nach der mir
> vorliegenden Def. ein Wert mit unendlich vielen
> Folgegliedern in jeder seiner Epsilon-Umgebungen) ist, z.B.
> gilt lim inf n! = lim sup n! = lim n! = [mm]\infty.[/mm]
Wenn Du Freds Einwand liest und Dir (auch) zudem klarmachst, dass durchaus der Liminf einer Folge [mm] $\infty$ [/mm] sein kann, verstehe ich hier nicht Dein Problem. Für jede (durch eine Zahl $m > [mm] -\infty$) [/mm] nach unten beschränkte Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] reeller Zahlen existiert der Liminf (in [mm] $\IR \cup \{\infty\}$), [/mm] weil dann mit
[mm] $A_n:=\text{inf}\{a_k: k \in \IN \text{ und }k \ge n \}$ [/mm]
die Folge [mm] $(A_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist (mit [mm] $A_1 \ge [/mm] m$). [mm] $(A_n)_n$ [/mm] kann demnach nicht gegen [mm] $-\infty$ [/mm] streben.
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] zudem nach oben beschränkt, so ist auch [mm] $(A_n)_n$ [/mm] nach oben beschränkt und nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergent, ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nach oben unbeschränkt, so konvergiert auch [mm] $(A_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] und damit ist dann auch [mm] $\liminf\,a_n=\infty$. [/mm]
Im Falle [mm] $a_n=n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] gilt hier übrigens bspw.:
[mm] $A_n=\text{inf}\{k: k \in \IN \text{ und }k \ge n \}=n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$), [/mm] und daher ist hier
[mm] $\liminf_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} A_n=\lim_{n \to \infty} n=\infty\,.$
[/mm]
> Trotzdem ist das bei der Folge und auch bei [mm]n^2[/mm] kein
> Problem, weil sie uneigentlich konvergieren. Muss ich die
> wirklichen Problemkandidatien denn umschiffen, indem ich
> divergente, nicht monotone Folgen aus dem Beweis
> ausschließe, oder ist das nicht nötig bzw. sogar falsch?
Wenn Du das alles verstanden hast, dann lies' Dir nochmals Freds Fallunterscheidungen durch und den Beweisansatz (bzw. das ist schon i.W. der ganze Beweis), den ich Dir gepostet habe.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:49 Mo 22.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> (...) weil dann mit
>
> [mm]A_n:=\text{inf}\{a_k: k \in \IN \text{ und }k \ge n \}[/mm]
>
> die Folge [mm](A_n)_n[/mm] monoton fallend und nach unten (durch
> [mm]\black{m}[/mm]) beschränkt ist.
Ist die nicht monoton wachsend? Ich mein du kickst ja immer mehr Folgenglieder aus der Menge raus, deren Infimum du betrachtest.
> Im Falle [mm]a_n=n[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm]) gilt hier übrigens bspw.:
>
> [mm]A_n=\text{inf}\{k: k \in \IN \text{ und }k \ge n \}=\infty[/mm]
Meinst du nicht [mm]A_n=\text{inf}\{k: k \in \IN \text{ und }k \ge n \}=\red{n}[/mm]
Der Grund warum eine nach unten beschränkte Folge [mm] $a_n$ [/mm] stets ein [mm] $\liminf$ [/mm] (Nach Freds Definition) besitzt ist doch:
1. Die Menge der Häufungspunkte ist nach unten beschränkt.
2. Ist [mm] $a_n$ [/mm] zusätzlich nach oben beschränkt, so ist die Menge der Häufungspunkte nach Bolzano-Weierstraß nicht leer. Ist sie nicht nach oben beschränkt, dann ist [mm] $\infty$ [/mm] ein "Häufungspunkt".
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](a_{k})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge positiver Zahlen. Zeige
>
> lim inf [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le[/mm] lim inf
> [mm]\wurzel[n]{a_{n}} \le[/mm] lim sup [mm]\wurzel[n]{a_{n}} \le[/mm] lim sup
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
> Hallo,
>
> bei diesem Beweis komme ich einfach nicht weiter. Es ist ja
> klar, dass der kleinste Häufungswert immer kleiner oder
> gleich dem größten entsprechenden Häufungswert ist. Zu
> zeigen bleiben also das erste und das dritte [mm]"\le".[/mm]
>
> Und da hakts bei mir; ich weiß noch nicht mal, wie ich
> zeigen soll, dass die Häufungswerte in jedem Fall
> existieren. Was wenn [mm](a_{k})[/mm] divergent und nicht monoton
> ist?
ich hatte erst angefangen, Dir den Beweis der letzten Ungleichung aufzuschreiben, bin aber gerade zu dem Schluß gekommen, dass folgendes besser für Dich ist:
Schau' Dir ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript den Beweis zum Quotientenkriterium genau an (Satz 6.19). Lasse dort im ersten Beweisteil die Aussagen mit dem [mm] $\overline{a} [/mm] < q < 1$ weg bzw. ersetze ggf. $q$ durch [mm] $\overline{a}$, [/mm] also genauer:
Schau in den Beweis, wie er aussieht, wenn man so anfängt (wir nehmen auch, wie bei Deiner Aufgabe, jetzt einfach mal an, dass alle Folgeglieder positiv seien):
Edit: Das war Quatsch. Du musst da formal doch ein wenig aufpassen, denn natürlich gilt nicht [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \overline{a}$ [/mm] ab einem gewissen $N$, sondern (Satz 5.20.1):
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so gibt es ein [mm] $N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] mit... Damit solltest Du hier dann arbeiten und Dich zudem an dem Beweis zum Quotientenkriterium orientieren.
Also:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und [mm] $\overline{a}=\limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. [/mm] Dann gibt's ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] < [mm] \overline{a}+\varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
Für [mm] $\black{n} [/mm] > N$ gilt dann
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Damit hättest Du schonmal die letzte Ungleichung bewiesen. Überlege Dir noch die erste, vll. analog...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mo 22.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja das mit dem Quotientenkriterium hatte ich irgendwie auch im Hinterkopf. Der Punkt ist doch, dass das erste und letzte [mm] "$\le$" [/mm] in der Ungleichung eigentlich Gleichheiten sind, solange alle Limites existieren (also [mm] $<\infty$ [/mm] sind).
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Ja das mit dem Quotientenkriterium hatte ich irgendwie auch
> im Hinterkopf. Der Punkt ist doch, dass das erste und
> letzte "[mm]\le[/mm]" in der Ungleichung eigentlich Gleichheiten
> sind, solange alle Limitesn existieren (also [mm]<\infty[/mm] sind).
wie kommst Du darauf? (Vielleicht verstehe ich Dich auch total falsch?!)
Wenn man den Beweis entsprechend abändert erhält man für genügend große [mm] $\black{n}$ [/mm] hier
$$
[mm] \sqrt[n]{a_n} \le \sqrt[n]{\frac{a_N}{(\overline{a}+\varepsilon)^N}}\;\;*(\overline{a}+\varepsilon)\,.
[/mm]
$$
Die rechte Seite strebt (für festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) gegen [mm] $1*(\overline{a}+\varepsilon)=\overline{a}+\varepsilon$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] also hat man zunächst:
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le \overline{a}+\varepsilon=\limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}+\varepsilon$$
[/mm]
für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Wie man die letzte Ungleichung damit folgert, sollte nun klar sein. Allerdings bleibt da eine Ungleichung bestehen, es gilt i.a. nicht [mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\limsup_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. [/mm] Das geht auch aus dem Beweis nicht hervor, aus dem Beweis geht nur [mm] "$\le$" [/mm] hervor, und es gibt durchaus Fälle, wo auch [mm] $\black{<}$ [/mm] auftritt.
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank Euch allen,
auch wenn ich selbst an der regen Diskussion nicht so beteiligt war hab ich den Beweis jetzt nachvollzogen und mein Denkfehler bzgl. der Häufungswerte beschränkter Folgen ist behoben.
Viele Grüße,
Julia
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