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Forum "Funktionalanalysis" - Beweisaufgabe Hilberträume
Beweisaufgabe Hilberträume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweisaufgabe Hilberträume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Do 14.09.2006
Autor: tiptop

Aufgabe
Beweisen Sie Gleichung (A.4 siehe unten). Sei [mm] $V_0$ [/mm] ein geschlossener Unterraum eines Hilbertraumes $V$, dann kann jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eindeutig durch  [mm] $v=v_0+w$ [/mm] beschrieben werden, wobei [mm] $v_0 \in V_0$ [/mm] und $w$ orthogonal zu [mm] $V_0$. [/mm] Das Element [mm] $v_0$ [/mm] kann also als eindeutiges Element in [mm] $V_0$ [/mm] charakterisiert werden, welches am nächsten an $v$ liegt, also
$$ [mm] ~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \min_{w \in V_0} ~\parallel [/mm] v - ~w [mm] \parallel \hspace{0.50in} [/mm] (A.4) $$  

Weiterhin ist noch als Tipp gegeben:
Nehmen Sie $ [mm] \left \lbrace v_i \right \rbrace_{i=1}^{\infty} \subset V_0 [/mm] $, so dass
$$ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \parallel v-v_i \parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \inf_{w \in V_0} \parallel [/mm] v - w [mm] \parallel [/mm] $$
und zeigen Sie, dass  $ [mm] \left \lbrace v_i \right \rbrace_{i=1}^{\infty} [/mm] $  eine Cauchy Folge ist. Setzen Sie $ [mm] v_0 [/mm] =  [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} v_i [/mm] $.

Hier eine Beweisaufgabe zur Funktionalanalysis... Leider bin ich da nicht so ganz fit... Kann mir da evtl. jemand helfen und das etwas erklären? Wie muss ich denn nun formal rangehen?

Wäre über Hilfe wirklich sehr erfreut...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Do 14.09.2006
Autor: Barncle

also.. ähm.. muss gestehten, dass ich da auch nicht ganz so fitt bin, aber kann denn [mm] \omega [/mm] othogonal zu [mm] V_o [/mm] und gleichzeitig [mm] \in V_0 [/mm] sein?
So stehts nämlich in der Angabe...

Grüße

Bezug
                
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Do 14.09.2006
Autor: banachella

Hallo barnacle,

> also.. ähm.. muss gestehten, dass ich da auch nicht ganz so
> fitt bin, aber kann denn [mm]\omega[/mm] othogonal zu [mm]V_o[/mm] und
> gleichzeitig [mm]\in V_0[/mm] sein?
>  So stehts nämlich in der Angabe...

es soll ja [mm] $w\bot V_0$ [/mm] und [mm] $v_0\in V_0$, [/mm] so dass [mm] $v=v_0+w$. [/mm] Bei [mm] $v_0$ [/mm] handelt es sich schlicht um die orthogonale Projektion von $v$ auf [mm] $V_0$, [/mm] man setzt dann [mm] $w:=v-v_0$. [/mm]

Gruß, banachella

Bezug
                        
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Do 14.09.2006
Autor: Barncle

jo.. dacht ich mir, aba schau mal an was er da geschrieben hat:

$ [mm] ~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \min_{w \in V_0} ~\parallel [/mm] v - ~w [mm] \parallel \hspace{0.50in} [/mm] $

Stimmt dann nicht oder?

Grüße

Bezug
                                
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Do 14.09.2006
Autor: banachella


> jo.. dacht ich mir, aba schau mal an was er da geschrieben
> hat:
>  
> [mm]~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} = \min_{w \in V_0} ~\parallel v - ~w \parallel \hspace{0.50in}[/mm]
>  
> Stimmt dann nicht oder?

Es ist vielleicht etwas ungünstig diese Variable mit $w$ zu bezeichnen, aber nicht falsch. Man kann das ja auch anders nennen. Dann steht da:
[mm] $\|v-v_0\|=\inf_{x\in V_0}\|v-x\|$ [/mm]
Es handelt sich hier nämlich um zwei verschiedene $w$. Das eine gehört zu Infimum, das andere zur Projektion.

Gruß, banachella

Bezug
                                        
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Do 14.09.2006
Autor: Barncle

passt dann is alles klar! ;)

Bezug
        
Bezug
Beweisaufgabe Hilberträume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Fr 15.09.2006
Autor: banachella

Hallo tiptop,

der Tipp, den man euch gegeben hat, ist eigentlich schon sehr ausführlich. Überleg dir doch erstmal, dass es eine solche Folge gibt. Hast du dafür eine Idee?
Ich helfe dir dann gerne weiter!

Gruß, banachella

Bezug
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