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Beweise: direkt / indirekt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 24.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

Aufgabe
Man beweise: für alle a, b [mm] \in \IR [/mm] gilt ab [mm] \le (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm]

a) indirekt
b) direkt


Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen kann...
theoretisch müsste a, b [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] für einen idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?

        
Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 24.10.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> Man beweise: für alle a, b [mm]\in \IR[/mm] gilt ab [mm]\le (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>  
> a) indirekt
>  b) direkt
>  Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen
> kann...
>  theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] für einen
> idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?

Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und führe dies auf einen Widerspruch.


Lg Thomas

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Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Fr 24.10.2014
Autor: Molo_Hamburg


>
> Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und
> führe dies auf einen Widerspruch.


theoretisch müsste a, b [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] ja denn dass Gegenteil sein. Bloß wie geht man denn weiter vor?

Bezug
                        
Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Fr 24.10.2014
Autor: Thomas_Aut


> >
> > Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und
> > führe dies auf einen Widerspruch.
>  
>
> theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] ja denn

du meinst sicher :

$ab  > [mm] (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $

> dass Gegenteil sein. Bloß wie geht man denn weiter vor?

naja wie hast du das denn direkt gezeigt?

forme doch:

$ab  > [mm] (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $

einmal ein wenig um ... etwa auf die Form

$ 0 > ... $

Lg

Thomas





Bezug
                                
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Beweise: direkt / indirekt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Fr 24.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

Okay dann komme ich auf folgende Lösung:

ab [mm] \le \bruch{a+b}{2} [/mm]

ist sie richtig?

Bezug
                                        
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Beweise: direkt / indirekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Fr 24.10.2014
Autor: Thomas_Aut


> Okay dann komme ich auf folgende Lösung:
>  
> ab [mm]\le \bruch{a+b}{2}[/mm]
>  
> ist sie richtig?

Nein.

Du bist meinem Hinweis nicht ansatzweise gefolgt....


Bezug
                                                
Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Fr 24.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

Tut mir leid.. :) , ich weiß leider nicht  genau wie ich sie umformen kann

Bezug
                                                        
Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Fr 24.10.2014
Autor: Thomas_Aut

Versuchs einfach mal :)

forme um was du kannst und dann schauen wir weiter - ausgehend von:

zeige:

ab > [mm] (\frac{a+b}{2})^2 [/mm]

ist falsch.

Bezug
                                                                
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Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Fr 24.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

okay ich folgend vorgehen:

ab [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm]

ab [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] | [mm] \wurzel{} [/mm]

[mm] \wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2} [/mm] | *2

[mm] 2\wurzel{ab} \ge [/mm] a+b


Bezug
                                                                        
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Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:46 Sa 25.10.2014
Autor: fred97


> okay ich folgend vorgehen:
>  
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>  
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2}[/mm] | *2

Nein, das kannst Du so nicht machen. Niemand hat gesagt, das ab [mm] \ge [/mm] 0 ist.

FRED

>  
> [mm]2\wurzel{ab} \ge[/mm] a+b
>  


Bezug
                                                                        
Bezug
Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Sa 25.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> okay ich folgend vorgehen:
>  
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>  
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2}[/mm] | *2
>  
> [mm]2\wurzel{ab} \ge[/mm] a+b

  
eine Aneinenderreihung irgendwelcher Zeilen hat nichts mit einem Beweis
zu tun. Benutze bitte [mm] $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ [/mm] etc.

Ansonsten: Siehe auch Freds Hinweis. Oder Du machst zudem auch Fallunterscheidungen...

Gruß,
  Marcel

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Beweise: direkt / indirekt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Fr 24.10.2014
Autor: Thomas_Aut


> Man beweise: für alle a, b [mm]\in \IR[/mm] gilt ab [mm]\le (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>  
> a) indirekt
>  b) direkt
>  
> Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen
> kann...
>  theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] für einen
> idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?

also:


$ab  [mm] >(\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $

dies ist doch nichts anderes als

$ab > [mm] \frac{a^2 +2ab +b^2}{4}$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
$4ab > [mm] a^2 [/mm] +2ab [mm] +b^2$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
$0 > [mm] a^2 [/mm] -2ab [mm] +b^2$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
$0 > [mm] (a-b)^2 [/mm] $

wieviele a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] findest du denn, dass diese Aussage richtig ist?


Lg Thomas

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Beweise: direkt / indirekt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:45 Sa 25.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

Dann müsste durch dass Quadrat keine Lösung vorhanden sein, da ja alles positiv ist..?

Bezug
                        
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Beweise: direkt / indirekt: Demonstration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:01 Sa 25.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Man beweise: für alle a, b $ [mm] \in \IR [/mm] $ gilt ab $ [mm] \le (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $

> a) indirekt
> b) direkt

im Fall b) machst Du folgendes:
Du nimmst $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann brauchst Du eine Aussage, die
mit Sicherheit wahr ist, und aus der die Behauptung folgt. Mehr dazu später!

Im Falle a) geht es ein wenig anders:
Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es jedenfalls (zwei,
nicht notwendig verschiedene) Zahlen

    [mm] $a_0,b_0 \in \IR$ [/mm]

mit

    [mm] $a_0 b_0 [/mm] > [mm] (\tfrac{a_0+b_0}{2})^2$ [/mm]

Daraus folgert man einen Widerspruch.

Ich mache nun eine andere Aufgabe als Demonstration:
Behauptung: Für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt

    $x+1/x [mm] \ge 2\,.$ [/mm]

Direkter Beweis:
Es gilt

    $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ [mm] $\iff$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ [mm] $\iff$ $(x-1)^2 \ge 0\,.$ [/mm]

(Es wäre nun aber falsch, zu sagen: Weil aus $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ die wahre Aussage
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$ folgt, gilt die Behauptung!)

Der Beweis folgt nun, weil

    $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ [mm] $\Longleftarrow$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ [mm] $\Longleftarrow$ $(x-1)^2 \ge 0\,.$ [/mm]

Denn die Aussage

    [mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$

ist hier offensichtlich wahr, und mit der letzten Folgerungskette folgt dann
die Behauptung (lesen von rechts nach links). Dazu lies auch

   meinen Artikel hier (klick!).

Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gibt ein [mm] $x_0 [/mm] > 0$ mit

    [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < [mm] 2\,.$ [/mm]

Dann folgt

    [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < 2$ [mm] $\Rightarrow$ ${x_0}^2+1 [/mm] < [mm] 2x_0$ $\Rightarrow$ $(x_0-1)^2 [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm]

Letzteres kann aber offensichtlich nicht gelten, so dass dieser Widerspruch
nur dadurch gelöst werden kann, dass die Annahme

    [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < [mm] 2\,$ [/mm]

zu verwerfen ist - die Annahme [mm] $x_0 [/mm] > 0$ ist hier aber eine "Grundvoraussetzung".
Also kann nur [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < 2$ falsch sein...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
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Beweise: direkt / indirekt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 So 26.10.2014
Autor: Molo_Hamburg

Danke für die Demonstration, jetzt kann ich es ein wenig nachvollziehen :)

Bezug
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