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Beweise zu linearen Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:33 Sa 18.06.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
Seien $F$ ein Körper und X, Y zwei $F$-lineare Räume mit [mm] $dim_FX=n\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $dim_FY=m\in\mathbb{N}$. \\ [/mm]
Zeigen [mm] Sie:\\ [/mm]
a) Es gibt genau dann eine injektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$, [mm] \\ [/mm]
wenn [mm] $n\leq [/mm] m$.



Hi, also ich wollt mal fragen ob das richtig ist.

a)
Es gibt eine injektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ [mm] $\iff$ $n\leq m$\\ [/mm]
[mm] "$\Rightarrow$"\\ [/mm]
Definition "injektiv": [mm] \\ [/mm]
Zu jedem [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert höchstens ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y$.\\ [/mm]
Sei [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ eine injektive [mm] Abbildung.\\ [/mm]
Sei [mm] $n>m$.\\ [/mm]
Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm] $N(f)=\{0\}$ ist.\\ [/mm]
[mm] $dim_FX=dim_FR(f)+dim_FN(f)$\\ [/mm]
Also: [mm] $n=dim_FR(f)+0$\\ [/mm]
Somit muss auch [mm] $dim_FY\geq [/mm] n$ [mm] sein.\\ [/mm]
Dies würde implizieren, dass [mm] $m\geq [/mm] n$ [mm] ist.\\ [/mm]
Was im Widerspruch zu unserer Annahme steht, dass  [mm] $n>m$.\\ [/mm]
Somit muss [mm] $n\leq [/mm] m$ wahr [mm] sein.\\ [/mm]

Ist natürlich nur die eine Richtung ich weiß, aber irgendwie fehlt mir die Begründung, dass [mm] $dim_FY\geq dim_F [/mm] R(f)$ sein muss.

(R(f)=Bild(f))

        
Bezug
Beweise zu linearen Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Sa 18.06.2016
Autor: fred97


> Seien [mm]F[/mm] ein Körper und X, Y zwei [mm]F[/mm]-lineare Räume mit
> [mm]dim_FX=n\in\mathbb{N}[/mm] und [mm]dim_FY=m\in\mathbb{N}[/mm]. [mm]\\[/mm]
>  Zeigen [mm]Sie:\\[/mm]
>  a) Es gibt genau dann eine injektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung
> [mm]f:X\rightarrow Y[/mm], [mm]\\[/mm]
>  wenn [mm]n\leq m[/mm].
>  
>
> Hi, also ich wollt mal fragen ob das richtig ist.
>  
> a)
>  Es gibt eine injektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung [mm]f:X\rightarrow Y[/mm]
> [mm]\iff[/mm] [mm]n\leq m[/mm][mm] \\[/mm]
>  "[mm]\Rightarrow[/mm][mm] "\\[/mm]
>  Definition "injektiv":
> [mm]\\[/mm]
>  Zu jedem [mm]y\in Y[/mm] existiert höchstens ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm][mm] .\\[/mm]
>  
> Sei [mm]f:X\rightarrow Y[/mm] eine injektive [mm]Abbildung.\\[/mm]
>  Sei [mm]n>m[/mm][mm] .\\[/mm]
>  Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm]N(f)=\{0\}[/mm]
> [mm]ist.\\[/mm]
>  [mm]dim_FX=dim_FR(f)+dim_FN(f)[/mm][mm] \\[/mm]
>  Also: [mm]n=dim_FR(f)+0[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> Somit muss auch [mm]dim_FY\geq n[/mm] [mm]sein.\\[/mm]
>  Dies würde implizieren, dass [mm]m\geq n[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
>  Was im Widerspruch zu unserer Annahme steht, dass  [mm]n>m[/mm][mm] .\\[/mm]
>  
> Somit muss [mm]n\leq m[/mm] wahr [mm]sein.\\[/mm]
>  
> Ist natürlich nur die eine Richtung ich weiß, aber
> irgendwie fehlt mir die Begründung, dass [mm]dim_FY\geq dim_F R(f)[/mm]
> sein muss.

R(f) ist doch ein Unterraum von Y !

FRED

>  
> (R(f)=Bild(f))


Bezug
                
Bezug
Beweise zu linearen Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 So 19.06.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
b) Es gibt genau dann eine surjektive F-lineare Abbildung [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y, wenn [mm] n\geq [/mm] m.

Es gibt eine surjektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y [mm] \iff n\geq m$\\ [/mm]
[mm] "$\Rightarrow$" \\ [/mm]
Sei [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ surjektive $F$-lineare [mm] Abbildung.\\ [/mm]
Durch 2.2.1 wissen wir, dass $R(f)=Y$ [mm] ist.\\ [/mm]
Daher ist [mm] $dim_FY=dim_FX-dim_FN(f)$.\\ [/mm]
Oder anders ausgedrückt [mm] $m=n-dim_FN(f)$.\\ [/mm]
Da es keine negativen Dimensionen gibt, muss also, da N(f) auch nur [mm] $\{0\}$ [/mm] sein könnte, [mm] $m\leq [/mm] n$ [mm] sein.\\\\ [/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"\\ [/mm]
Sei [mm] $n\geq [/mm] m$.

Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter, ich würde halt nun eine surjektive Funktion zusammenbasteln.
Bei a) habe ich die Transformation [mm] Tx_i=y_i [/mm] benutzt.
Was nehm ich nun hier?

Bezug
                        
Bezug
Beweise zu linearen Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Mo 20.06.2016
Autor: angela.h.b.


> b) Es gibt genau dann eine surjektive F-lineare Abbildung
> [mm]f:X\rightarrow[/mm] Y, wenn [mm]n\geq[/mm] m.
>  Es gibt eine surjektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung [mm]f:X\rightarrow Y \iff n\geq m[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" [mm]\\[/mm]
>  Sei [mm]f:X\rightarrow Y[/mm] surjektive [mm]F[/mm]-lineare [mm]Abbildung.\\[/mm]
>  Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm]R(f)=Y[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
>  Daher ist [mm]dim_FY=dim_FX-dim_FN(f)[/mm][mm] .\\[/mm]
>  Oder anders
> ausgedrückt [mm]m=n-dim_FN(f)[/mm][mm] .\\[/mm]
>  Da es keine negativen
> Dimensionen gibt, muss also, da N(f) auch nur [mm]\{0\}[/mm] sein
> könnte, [mm]m\leq n[/mm] [mm]sein.\\\\[/mm]
>  "[mm]\Leftarrow[/mm][mm] "\\[/mm]
>  Sei [mm]n\geq m[/mm].
>  
> Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter, ich würde
> halt nun eine surjektive Funktion zusammenbasteln.

Hallo,

ja, genau. Mach das!

>  Bei a) habe ich die Transformation [mm]Tx_i=y_i[/mm] benutzt.
>  Was nehm ich nun hier?

Nimm eine Basis [mm] (y_1,...,y_m) [/mm] von Y und eine Basis [mm] (x_1,...,x_m, x_{m+1},...,x_n) [/mm] von X und bau Dir eine surjektive Abbildung.

LG Angela


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