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Forum "Diskrete Mathematik" - Beweisen von Injektivität
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Beweisen von Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 22.10.2017
Autor: Flauschling

Aufgabe
Man untersuche folgende Funktionen auf Injektivität und Surjektivität (und beweise jeweils die Antwort):
a) f: [mm] \IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\quad (x,y)\mapsto [/mm] x+2y
b) f: [mm] \IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\ \times\ \IR\quad (x,y)\mapsto [/mm] (x+y,x-y)



Hallo erst mal,

wie oben in der Aufgabe sichtbar, sollen beide Funktionen auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden. Was beides bedeutet habe ich verstanden, allerdings finde ich nirgends passende Bespiele dafür, wie man dies beweisen kann. Würde mich über Hilfe freuen.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweisen von Injektivität: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 So 22.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Man untersuche folgende Funktionen auf Injektivität und
> Surjektivität (und beweise jeweils die Antwort):
>  a) f: [mm]\IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\quad (x,y)\mapstox+2y[/mm]
>  
> b) f: [mm]\IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\ \times\ \IR\quad (x,y)\mapstox(x+y,x-y)[/mm]
>  
> Hallo erst mal,
>  
> wie oben in der Aufgabe sichtbar, sollen beide Funktionen
> auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden. Was
> beides bedeutet habe ich verstanden, allerdings finde ich
> nirgends passende Bespiele dafür, wie man dies beweisen
> kann. Würde mich über Hilfe freuen.


Mir ist allerdings nicht verständlich, was genau hier gerechnet
werden soll. Nach meiner Ansicht sind die beiden Abbildungen
nicht so definiert, dass man sie (nach üblicher Notation)
wirklich korrekt lesen und verstehen kann.

Bei (a)  verstehe ich z.B. nicht, wie aus dem Term  (x,y) + 2y
ein Element aus  [mm] \IR [/mm]  werden soll.

Und auch in (b)  sehe ich nicht, was mit dem Term  (x,y)(x+y,x-y)
gemeint sein soll.

LG ,    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Beweisen von Injektivität: Frage redigieren !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 So 22.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Ich habe nun gemerkt, dass du möglicherweise aufgrund
eines Problems mit $\ [mm] T_E [/mm] X$  nicht das geschrieben hast, was du
eigentlich hättest schreiben wollen.
Deshalb bitte ich dich, nochmals genau anzuschauen, was
beim Lesen deines Artikels genau erscheint.
Redigiere dann bitte deine Frage so, dass man sie korrekt
entziffern kann !

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Beweisen von Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 So 22.10.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen!

Ich habe die fehlenden Leerzeichen bei der Latex-Formel mal eingefügt.

Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob der zweite Funktionsterm wirklich mit einem x starten soll, wie angegeben, oder nicht.

Kannst du, Flauschling, uns dazu bitte eine kurze Rückmeldung geben?

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Beweisen von Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 22.10.2017
Autor: Flauschling

[Dateianhang nicht öffentlich]

Das Bild sollte wahrscheinlich Klarheit schaffen über die Aufgabenstellung.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Beweisen von Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 22.10.2017
Autor: HJKweseleit


> Man untersuche folgende Funktionen auf Injektivität und
> Surjektivität (und beweise jeweils die Antwort):
>  a) f: [mm]\IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\quad (x,y)\mapsto[/mm]
> x+2y
>  b) f: [mm]\IR\ \times \IR\ \rightarrow \IR\ \times\ \IR\quad (x,y)\mapsto[/mm]
> x(x+y,x-y)



Zur Surjektivität bei a): Du musst nur beweisen, dass es zu jeder reellen Zahl aus [mm] \IR [/mm] ein (x|y) gibt, so dass diese Zahl herauskommt. Das geht so:

Sei a eine beliebige Zahl [mm] \in \IR. [/mm] Dann wird (a|0) [mm] \mapsto [/mm] a+2*0=a auf a abgebildet, also a durch die Abbildung erfasst. Somit surjektiv.

Bei b): Sei (a|b) ein beliebiges Element aus [mm] \IR^2. [/mm] dann wird (.....?..|....?..) [mm] \mapsto [/mm] .... =(a|b) auf (a|b) abgebildet. (Was muss man für die ? hinschreiben? Gibt es das immer?)


Zur Injektivität bei a): Wenn f(a|b)=f(c|d) ist, dann muss (a|b)=(c|d) sein. Mit anderen Worten:

a+2b=c+2d ist für alle Zahlen a,b,c,d nur möglich, wenn a=c und b=d ist. Finde hier ein Gegenbeispiel (also irgendwelche Zahlen, bei denen es nicht so ist), denn das stimmt nicht.

Analog bei b): finde irgendwelche Zahlen a,b,c und d, bei denen a(a+b|a-b)=c(c+d|c-d) ist, für die nicht a=c und b=d ist, oder beweise, dass dann immer a=c und b=d sein muss.


Bezug
        
Bezug
Beweisen von Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 So 22.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Ich hab mal deine Aufgabe korrigiert, dass sie zum Aufgabenblatt passt.
Ich musste deinen Anhang aber sperren, da du vermutlich nicht die Rechte besitzt, dieses hier zu veröffentlichen (falls doch und ich mich gerirrt habe, gib kurz bescheid).

Injektivität: Um zu zeigen, dass etwas injektiv ist, musst du zeigen, dass nie zwei Elemente auf dasselbe Zielelement abgebildet werden. Oder, äquivalent dazu, WENN zwei Ausgangselemente auf dasselbe Zielelement abgebildet werden, dann MÜSSEN die Ausgangselemente zwingend gleich sein.

Am Beispiel deiner ersten Aufgabe: Nehmen wir an, es gäbe zwei Tupel [mm] $(x_1,y_1)$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2)$, [/mm] so dass beide auf denselben Wert abgebildet werden, das also gilt: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2y_2$. [/mm]

Gilt nun gezwungenermaßen [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$ [/mm] und [mm] $y_1=y_2$? [/mm]
Falls ja, ist die Funktion injektiv und du kannst das zeigen, falls nein reicht die einfache Angabe eines Gegenbeispiels.

Surjektivität: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element im Zielraum auch "getroffen" wird. Bei deiner ersten Funktion ist der Zielraum [mm] $\IR$, [/mm] d.h. du musst zeigen, dass es für jedes [mm] $z\in \IR$ [/mm] ein Tupel $(x,y)$ gibt, so dass $x + 2y = z$ gilt.

Auch hier gilt: Falls es diese gibt, konstruiere dir solche x und y (Tipp: Versuch es mal mit x=y), falls nein, gib ein Gegenbeispiel für ein solches z an.

Dann leg mal los…

Gruß,
Gono

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