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Forum "Lineare Abbildungen" - Bild einer Matrix
Bild einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bild einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Sa 20.09.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
Bild einer Matrix,

Basis des Bildes

Angenommen ich habe eine lin. Abb. f(x)=Ax, A ist eine Abb-Matrix.

Mal unabhaengig von den beteiligten Mengen:

Wenn ich A auf Zeilenstufenform bringe, habe ich dann nicht schon im Prinzip das Bild von f durch die Menge {Matrix in ZSF mal x}?
Und für eine Basis des Bildes könnte ich da nicht die Zeilenvektoren dieser Matrix in ZSF nehmen, sofern diese lin. unabh. sind?

        
Bezug
Bild einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Sa 20.09.2014
Autor: angela.h.b.


> Bild einer Matrix,

>

> Basis des Bildes
> Angenommen ich habe eine lin. Abb.

[mm] f:\IR^m\to \IR^n [/mm]

> f(x)=Ax, A ist eine
> Abb-Matrix.

>

> Mal unabhaengig von den beteiligten Mengen:

>

> Wenn ich A auf Zeilenstufenform bringe, habe ich dann nicht
> schon im Prinzip das Bild von f durch die Menge {Matrix in
> ZSF mal x}?

Hallo,

es ist [mm] Bild(f):=\{f(x)| x\in \IR^m\}=\{Ax| x\in \IR^m\}. [/mm]
Aber es ist, wenn A' die ZSF von A ist, nicht zwingend [mm] Bild(f)=\{A'x| x\in \IR^m\}. [/mm]

Du kannst Dir überlegen, daß das Bild der Raum ist, der von den Spalten der Matrix A aufgespannt wird, und aus diesem Erzeugendensystem kannst Du Dir eine Basis des Bildes herauspicken.

> Und für eine Basis des Bildes könnte ich da nicht die
> Zeilenvektoren dieser Matrix in ZSF nehmen, sofern diese
> lin. unabh. sind?

Nein.
Eine Basis kannst Du so finden:

bring A in ZSF, markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Die Spalten von A, in denen A' führende Elemente hat, bilden eine Basis des Bildes.

Oder Du transponierst A, bringst diese Matrix auf ZSF, transponierst wieder. Die Nichtnullspalten sind eine Basis des Bildes.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Bild einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 So 21.09.2014
Autor: geigenzaehler

Danke!

Bezug
                
Bezug
Bild einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Mo 22.09.2014
Autor: geigenzaehler


>  [mm]f:\IR^m\to \IR^n[/mm]
>  > f(x)=Ax, A ist eine

>  > Abb-Matrix.

>  
> es ist [mm]Bild(f):=\{f(x)| x\in \IR^m\}=\{Ax| x\in \IR^m\}.[/mm]
>  
> Aber es ist, wenn A' die ZSF von A ist, nicht zwingend
> [mm]Bild(f)=\{A'x| x\in \IR^m\}.[/mm]
>  
> Du kannst Dir überlegen, daß das Bild der Raum ist, der
> von den Spalten der Matrix A aufgespannt wird, und aus
> diesem Erzeugendensystem kannst Du Dir eine Basis des
> Bildes herauspicken.
>  

Ich meinte, es gäbe einen Unterschied zwischen Spaltenraum und Bild - machst Du diesen Unterschied?




Bezug
                        
Bezug
Bild einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 22.09.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich meinte, es gäbe einen Unterschied zwischen Spaltenraum
> und Bild - machst Du diesen Unterschied?

Hallo,

nein, da ich mit Vektoren/Matrizen rechne wie an den meisten Orten üblich, ist bei mir Spaltenraum=Bild.

LG Angela

>
>
>

Bezug
                                
Bezug
Bild einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Mo 22.09.2014
Autor: Marcel

Hi,

>
> > Ich meinte, es gäbe einen Unterschied zwischen
> Spaltenraum
>  > und Bild - machst Du diesen Unterschied?

>  
> Hallo,
>  
> nein, da ich mit Vektoren/Matrizen rechne wie an den
> meisten Orten üblich, ist bei mir Spaltenraum=Bild.

bei ihm kann's auch nicht anders sein. Es geht ja um

   $x [mm] \mapsto A*x\,,$ [/mm]

nicht

    $x [mm] \mapsto x^T*A$ [/mm] (die Matrizen [mm] $A\,$ [/mm] sind nicht die gleichen).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Bild einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:03 Di 23.09.2014
Autor: geigenzaehler

Danke für die Antwort.

Jetzt muss ich unbedingt wissen, warum ich kürzlich penibel zwischen Bild einer Matrix / lin. Abbildung und dem Spaltenraum einer Matrix unterscheiden musste.

Z.B.:

[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 } [/mm]

f: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm]
f(x)=Ax

Der Spaltenraum wäre doch einfach (?)

[mm] s*\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit s, t aus [mm] \IR [/mm] .

Das Bild(f) ist [mm] \{\vektor{a \\ b \\ c} aus \IR^3 | c-a-b=0 \}. [/mm]

Das ist doch ein Unterschied. Was verwechsle ich da?

Muss ich sagen, das eine ist der Spaltenraum der Matrix und das andere ist das Bild (nicht der Matrix, sondern) der lin. Abbildung?

Bezug
                                        
Bezug
Bild einer Matrix: Bild(A), Bild(f)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 Di 23.09.2014
Autor: angela.h.b.


> Danke für die Antwort.

>

> Jetzt muss ich unbedingt wissen, warum ich kürzlich
> penibel zwischen Bild einer Matrix / lin. Abbildung und dem
> Spaltenraum einer Matrix unterscheiden musste.

>

> Z.B.:

>

> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }[/mm]

>

> f: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm]
> f(x)=Ax

>

> Der Spaltenraum wäre doch einfach (?)

Hallo,

>

> [mm]s*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]t*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] mit s, t
> aus [mm]\IR[/mm] .

Genauer:

[mm] Spaltenraum=\{s*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}| s,t\in \IR\}, [/mm]

und die beiden linear unabhängigen Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Spaltenraumes.


>

> Das Bild(f) ist [mm]\{\vektor{a \\ b \\ c} aus \IR^3 | c-a-b=0 \}.[/mm]

[mm] =\{\vektor{a \\ b \\ a+b}| a,b\in \IR \}=\{a\vektor{1\\0\\1}+b\vektor{0\\1\\1}|a,b\in\IR\}, [/mm]

und Du kannst Dir überlegen, daß das dieselbe Menge ist wie Dein Spaltenraum oben.


Mir geht aber trotzdem gerade ein Licht auf.
Ja, man muß sorgfältig unterscheiden zwischen dem Bild einer linearen Abbildung und dem Spaltenraum der Darstellungsmatrix!

Oben gab es das Problem nicht, denn die Abbildung ging aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] IR^3, [/mm] und die Matrix A war die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen.

Jetzt betrachten wir mal eine Abbildung, welche aus dem Raum der Polynome vom Höchstgrad 1 in den Raum der Polynome vom Höchstgrad 2 abbildet, und zwar so:

[mm] g:\IR[x]_{\le 1}\to\IR[x]_{\le 2} [/mm]
[mm] g(a_1x+a_0):=a_1x^2+(a_1+a_0)x+(2a_1+a_0) [/mm]

Die Darstellungsmatrix bzgl der Basen B:=(x,1) des [mm] \IR[x]_{\le 1} [/mm] und [mm] C:(x^2,x,1) [/mm] des [mm] \IR[x]_{\le 2} [/mm] ist die Matrix

[mm] A:=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }. [/mm]

Eine Basis des Spaltenraumes von A = eine Basis des Bildes von A ist z.B. [mm] (\vektor{1\\1\\2},\vektor{0\\1\\1}), [/mm]
aber natürlich ist das keine Basis von Bild(f), denn Bild(f) ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR[x]_{\le 2}. [/mm]

Die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\1\\2},\vektor{0\\1\\1} [/mm] sind die Koordinatenvektoren bzgl C der Basis des Bildes von f.
Eine Basis von Bild(f) bilden also zusammen die beiden Vektoren
[mm] 1*x^2+1*x+2*1 [/mm] und [mm] 0*x^2+1*x+1. [/mm]

Ich bin mir ziemlich sicher, daß es darum ging.

Auch wenn Du Abbildungen zwischen VRen von Matrizen betrachtest, wird der Spaltenraum der Darstellungsmatrix aufgespannt von "ganz normalen" Vektoren des [mm] \IR^n. [/mm] Das Bild der Abbildung aber muß natürlich von Matrizen aufgespannt werden.
Du kannst ja mal, wenn Du in Deiner anderen Aufgabe die Darstellungsmatrix gefunden hast, eine Basis ihres Bildes bestimmen, und auch eine Basis des Bildes der Abbildung.


Oder hier: wir betrachten für
>[mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }[/mm]
die Abbildung

> f: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm]
> f(x)=Ax.

Bild(f) ist, wie wir oben gesehen haben, =Bild A.

Wir stellen nun aber mal die Abbildungsmatrix [mm] M^B_C(f) [/mm] auf bzgl. der BasenB:= [mm] (\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}) [/mm] und [mm] C:=(\vektor{1\\1\\2},\vektor{0\\1\\1},\vektor{0\\0\\4711}): [/mm]

[mm] M^B_C(f)=\pmat{1&0\\0&1\\0&0}. [/mm]

Es ist [mm] Bild(M^B_C(f))=<\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}>, [/mm]

und Bild [mm] f=<1*\vektor{1\\1\\2}+0*\vektor{0\\1\\1}+0*\vektor{0\\0\\4711},\0*vektor{1\\1\\2}+1*\vektor{0\\1\\1}+0*\vektor{0\\0\\4711}>=<\vektor{1\\1\\2},\vektor{0\\1\\1}>. [/mm]

Die eckigen Klammern stehen für den span/lineare Hülle/erzeugten Raum.

LG Angela





Bezug
                                                
Bezug
Bild einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:12 Mi 24.09.2014
Autor: Marcel

Hallo Angela,

> > Danke für die Antwort.
>  >
>  > Jetzt muss ich unbedingt wissen, warum ich kürzlich

>  > penibel zwischen Bild einer Matrix / lin. Abbildung und

> dem
>  > Spaltenraum einer Matrix unterscheiden musste.

>  >
>  > Z.B.:

>  >
>  > [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }[/mm]

>  >
>  > f: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm]

>  > f(x)=Ax

>  >
>  > Der Spaltenraum wäre doch einfach (?)

>  
> Hallo,
>  
> >
>  > [mm]s*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]t*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] mit s,

> t
>  > aus [mm]\IR[/mm] .

>  
> Genauer:
>  
> [mm]Spaltenraum=\{s*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}| s,t\in \IR\},[/mm]
>  
> und die beiden linear unabhängigen Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] bilden zusammen eine Basis des
> Spaltenraumes.
>  
>
> >
>  > Das Bild(f) ist [mm]\{\vektor{a \\ b \\ c} aus \IR^3 | c-a-b=0 \}.[/mm]

>  
> [mm]=\{\vektor{a \\ b \\ a+b}| a,b\in \IR \}=\{a\vektor{1\\0\\1}+b\vektor{0\\1\\1}|a,b\in\IR\},[/mm]
>  
> und Du kannst Dir überlegen, daß das dieselbe Menge ist
> wie Dein Spaltenraum oben.
>  
>
> Mir geht aber trotzdem gerade ein Licht auf.
>  Ja, man muß sorgfältig unterscheiden zwischen dem Bild
> einer linearen Abbildung und dem Spaltenraum der
> Darstellungsmatrix!
>  
> Oben gab es das Problem nicht, denn die Abbildung ging aus
> dem [mm]\IR^2[/mm] in den [mm]IR^3,[/mm] und die Matrix A war die
> Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen.
>  
> Jetzt betrachten wir mal eine Abbildung, welche aus dem
> Raum der Polynome vom Höchstgrad 1 in den Raum der
> Polynome vom Höchstgrad 2 abbildet, und zwar so:
>  
> [mm]g:\IR[x]_{\le 1}\to\IR[x]_{\le 2}[/mm]
>  
> [mm]g(a_1x+a_0):=a_1x^2+(a_1+a_0)x+(2a_1+a_0)[/mm]
>  
> Die Darstellungsmatrix bzgl der Basen B:=(x,1) des
> [mm]\IR[x]_{\le 1}[/mm] und [mm]C:(x^2,x,1)[/mm] des [mm]\IR[x]_{\le 2}[/mm] ist die
> Matrix
>  
> [mm]A:=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }.[/mm]
>  
> Eine Basis des Spaltenraumes von A = eine Basis des Bildes
> von A ist z.B. [mm](\vektor{1\\1\\2},\vektor{0\\1\\1}),[/mm]
>  aber natürlich ist das keine Basis von Bild(f), denn
> Bild(f) ist ja eine Teilmenge von [mm]\IR[x]_{\le 2}.[/mm]

das ist richtig, aber ich würde jetzt [mm] $\IR[x]_{\le 2}$ [/mm] isomorph mit dem [mm] $\IR^3$ [/mm] identifizieren -
wobei man strenggenommen auch angeben muss, welchen Isomorphismus
man dann verwendet.

Ich weise nochmal drauf hin: Etwa in

   Bosch, Lineare Algebra

steht einiges in einem Kapitel über Koordinatenabbildungen/-Transformationen
etc. drin.

Natürlich ist ein Polynom aus [mm] $\IR[x]_{\le 2}$ [/mm] kein [mm] $\IR^3$ [/mm] Objekt, aber es kann
in eineindeutiger Weise mit einem identifiziert werden - und dann ist man
im Endeffekt doch wieder bei der Aussage, dass das Bild einer linearen
Abbildung nichts anderes als der zugehörige Spaltenraum ist.
Wenn man das "salopp" ausdrücken wollte, würde man (etwa bei einer
linearen Abbildung zwischen endlich dimensionalen Räumen) sagen:
Durch Umbenennung kann man einen [mm] $n\,$-dimensionalen $K\,$-VR [/mm] mit [mm] $K^n$ [/mm] *identifizieren*.
Die lineare Abbildung wird (sie ist ja eigentlich bzgl. Basen des Urbilds- und
des Zielraums anzusehen) mit einer [mm] $K^{m \times n}$-Matrix [/mm] identifiziert.
Etc. pp.

Dazu gibt's auch in dem oben genannten Buch *schöne* Bildchen (Diagramme).

Aber ich mache gerade zu viel Werbung. (Das liegt aber nur daran, dass mich
das Buch nun schon seit fast 13 Jahren begleitet, und auch, wenn ich nur
wenig aus dem Buch selbst im Studium gebraucht habe, ich merke immer
wieder, dass, auch, wenn dort manches oft auf den ersten Blick sehr
kompliziert aussieht: Wenn man es ordentlich bearbeitet, merkt man nach
und nach, wie der Groschen fällt. Kann aber auch sein, dass das nur bei
mir so wirkt.) ;-)

P.S. Ich finde, dass Meyberg/Karpfinger in ihrem Buch Algebra einen schönen
*Absatz* stehen haben (dort geht es zwar um Halbgruppenisomorphismen,
aber der wesentliche Inhalt der Aussage ist gleich zu dem, was ich oben
meine - Dir ist das aber eh klar, ich will's halt mal hier stehen haben), also
Zitat:
"Wenn ein Isomorphismus [mm] $G\,$ [/mm] auf [mm] $H\,$ [/mm] existiert, nennt man [mm] $G\,$ [/mm] und
[mm] $H\,$ [/mm] isomorph. Man sagt dann, [mm] $G\,$ [/mm] und [mm] $H\,$ [/mm] haben dieselbe Struktur
oder sind vom gleichen Isomorphietyp. Der Isomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] benennt die Elemente
um: [mm] $\varphi \colon [/mm] a [mm] \mapsto \varphi(a)\,.$ [/mm]
Zwei isomorphe Halbgruppen sind also von der Bezeichnung der Elemente
abgesehen gleich. Isomorphie ist also fast dasselbe wie Gleichheit - ob
nun die Elemente $a,b,c, [mm] \ldots$ [/mm] oder [mm] $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$ [/mm] heißen, soll uns im Allgemeinen nicht
weiter kümmern."
(Man könnte und sollte noch etwas zu der jeweiligen Verknüpfung sagen,
warum sie sich das erspart haben, weiß ich nicht - vermutlich, weil die
eh im Isomorphismus mit drin verankert sind.)

Ich bin mir nämlich auch sicher: Die Schwierigkeiten, die die Leute bei
"Vektorraumisomorphien" haben, werden sich verringern, wenn sie
sich erstmal klarmachen, was eine Halbgruppenisomorphie *bedeutet*.
Und das ist wunderbar oben beschrieben, wie ich finde. Bei
Vektorraumisomorphien hat man zwar mehr zu schreiben, aber vom Inhalt
her wird sich dahingehend wenig ändern. Die Bedeutung der Basen bei
endlich dimensionalen Vektorräumen sollte man vielleicht noch betonen.
(Jedenfalls bei denen, weil wir mit linearen Abbildungen [mm] $K^n \to K^m$ [/mm] *umzugehen wissen*.)
Vielleicht hat ja jemand Lust, einen ähnlich klingenden Text für wenigstens
erstmal isomorphe, endlichdimensionale Vektorräume zu schreiben.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Bild einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mi 24.09.2014
Autor: geigenzaehler

Danke für die Antwort!

Muss es erst in Ruhe durcharbeiten...

Bezug
                        
Bezug
Bild einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Mo 22.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> >  [mm]f:\IR^m\to \IR^n[/mm]

>  >  > f(x)=Ax, A ist eine

>  >  > Abb-Matrix.

>  >  
> > es ist [mm]Bild(f):=\{f(x)| x\in \IR^m\}=\{Ax| x\in \IR^m\}.[/mm]
>  
> >  

> > Aber es ist, wenn A' die ZSF von A ist, nicht zwingend
> > [mm]Bild(f)=\{A'x| x\in \IR^m\}.[/mm]
>  >  
> > Du kannst Dir überlegen, daß das Bild der Raum ist, der
> > von den Spalten der Matrix A aufgespannt wird, und aus
> > diesem Erzeugendensystem kannst Du Dir eine Basis des
> > Bildes herauspicken.
>  >  
>
> Ich meinte, es gäbe einen Unterschied zwischen Spaltenraum
> und Bild - machst Du diesen Unterschied?

es gibt einen Unterschied zwischen

    Zeilenraum und Spaltenraum=Bild(A)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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