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Bilinearformen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:20 Mi 08.07.2015
Autor: lucaszester

Aufgabe
Seien K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und f eine orthogonale BLF auf V. Seien weiter [mm] v_{0} \in [/mm] V mit [mm] f(v_{0} [/mm] , v{0}) [mm] \not= 0_{k} [/mm] und [mm] \alpha [/mm] := v + [mm] ((-1_{k} +(-1_{k}))*f(v,v_{0})*(f(v_{0},v_{0}))^{-1} [/mm] ) [mm] *v_{0} [/mm] .
a) Zeigen dass [mm] V_{0} [/mm] := [mm] [/mm] (Erzeugnis) ein [mm] \alpha [/mm] -invarianter Teilruam ist und dass [mm] v_{0} ^\alpha [/mm] = - [mm] v_{0} [/mm] ist
b) Zeige das [mm] V_{0}^\perp [/mm] ( Senkrechtraum bzgl f) von [mm] \alpha [/mm] fixiert wird.
c) Zeige das  [mm] \alpha [/mm] eine Isometrie von (V,f) nach (V,f) ist.
d) Sei K= [mm] \IR [/mm]  und V = [mm] \IR [/mm] ^3 , f das Standartskalarprodukt . Warum ist [mm] \alpha [/mm] anschaulich eine Spiegelung?
e) Sei f ein Skalarprodukt und  ||.|| die durch f induzierte Normfunktion, Zeigen sie dass jede Isometrie von (V,f) nach (V,f) stetig bezgl ||.|| ist.

Hallo.
a) ist soweit klar, kann durch einfahces NAchrechnen gezeigt werden.
Nur eine kleine Frage : Muss beim 2. Teil beachtet werden das der Körper Charakteristik 2 haben könnte ?
b/c) Wie könnte man das zeigen?
d) Ist mir eigentlich soweit klar das es so ist. Hab mir auch mal die Standartbasis genommen und ein beliebiges [mm] v_{0}, [/mm] und dafür gezeichtnet. Allerdings glaube ich nicht das dies als Beweise reicht, Kann man das irgendwie anders (mathematischer ) erklären warum dies eine Spiegelung ist?
e) Ansatz wie man das machen könnte wäre nett !
:) LG lz.


        
Bezug
Bilinearformen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Sa 11.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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