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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Binomial- Verteilung
Binomial- Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Binomial- Verteilung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 So 28.08.2016
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Ein Glücksrad ist in zehn gleichgroße Felder mit den Zahlen  1  bis  10  aufgeteilt. Es wird sechsmal nacheinander gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sind die ersten vier Zahlen gerade?
b) tritt mindestens einmal die Zahl  6  auf
c) sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade              
d) treten die Zahlen  1  und  6  jeweils genau zweimal auf

Ich bitte um eine genaue Beschreibung des Lösungsweges zu c) und d).

Lösung im Buch
c) 0,0625 = 1/16  =  [mm] 0,5^4= [/mm] 8 ⋅ [mm] 0,5^7 [/mm]

d) 0,0058

        
Bezug
Binomial- Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 28.08.2016
Autor: M.Rex

Hallo

In Aufgabe c) mache die Unterteilung in "gerade" und "ungerade", dann ist p("gerade")=0,5.

Nun suche die Wahrscheinlichkeit, bei n=3 Würfen k=3 gerade Zahlen zu ziehen.

In AUfgabe d) unterteile in die drei Bedingungen "6", "1" und "beliebig anders".
Danach überlege noch, wie du die Anordnungen 1,1,6,6,b,b vertauschen kannst.

Marius

Bezug
                
Bezug
Binomial- Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mi 26.10.2016
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Aufgabe
Ein Glücksrad ist in zehn gleichgroße Felder mit den Zahlen  1  bis  10  aufgeteilt. Es wird sechsmal nacheinander gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sind die ersten vier Zahlen gerade?
b) tritt mindestens einmal die Zahl  6  auf
c) sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade
d) treten die Zahlen  1  und  6  jeweils genau zweimal auf

Ich bitte um eine genaue Beschreibung des Lösungsweges zu c) und d).

Lösung im Buch
c) 0,0625 = 1/16  =    8 ⋅  

d) 0,0058

Antwort   28.08.16
Hallo

In Aufgabe c) mache die Unterteilung in "gerade" und "ungerade", dann ist p("gerade")=0,5.

Nun suche die Wahrscheinlichkeit, bei n=3 Würfen k=3 gerade Zahlen zu ziehen.

In Aufgabe d) unterteile in die drei Bedingungen "6", "1" und "beliebig anders".
Danach überlege noch, wie du die Anordnungen 1,1,6,6,b,b vertauschen kannst.

Marius

Frage zur Antwort:
Zu Lösungshinweis zu Aufgabe c)   P_(3;0,5)(X=3) = (3¦3)⋅ 〖0,5〗^3 ⋅ 〖0,5〗^0 = 〖0,5〗^3 .   Mir hilft diese Antwort noch nicht. Wie berücksichtige ich rechnerisch, dass drei Zahlen hintereinander gerade sein sollen?
Zu Lösungshinweis zu Aufgabe d)  Permutation wie beim berühmten „ANANAS“:
Anzahl der möglichen Vertauschungen:   6!/(2!⋅2!⋅2!) = (6⋅5⋅4⋅3⋅2)/(2⋅2⋅2) = 6⋅5⋅3 = 90    
dazu die Wahrscheinlichkeit   als Anzahl der Erfolge durch Gesamtanzahl der Möglichkeiten:
90/((10¦6) ) = 90/((10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5)/(6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1)) = (90⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2)/(10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5) = 3/7 = 0,429   d.h.falsch!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!    Warum?


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Bezug
Binomial- Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Do 27.10.2016
Autor: ChopSuey

Hallo,

wie M.Rex bereits erwähnte, erhält man die Wahrscheinlichkeit für drei hintereinanderliegende gerade Zahlen über die Binomialverteilung (drei Treffer bei drei Versuchen) zu $ [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^3$ [/mm]

Es gibt vier mögliche Plätze für deinen dreier-Block an geraden Zahlen:

$ XXXYYY, YXXXYY, YYYXXX, YYXXXY$ wobei $ X = $ gerade Zahl und $ Y = $ ungerade Zahl sei. Die restlichen drei Plätze können von ungeraden Zahlen belegt werden, wobei [mm] $P(\text{ungerade}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] gilt.

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P(\text{3 x gerade hintereinander}) [/mm] = [mm] 4*\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3$ [/mm]

d) Funktioniert ähnlich. Tipp: $P(1) = P(6) = [mm] \frac{1}{10}$. [/mm] Wie viele Möglichkeiten gibt es zwei mal die 1 in einem 6er Block unterzubringen?

$1xx1xx$ wäre zb eine Möglichkeit. Wobei hier $ x $ für eine beliebige Zahl $ [mm] \not= [/mm] 1 $ steht. Für die Zahl 6 analog, allerdings ist zu beachten, dass nach Belegung zweier Plätze einer der beiden Zahlen, für die andere nur noch $ 6-2 = 4$ mögliche Belegungen im 6er Block gibt.

Also Anzahl Möglichkeiten für die Zahl 1 ist somit $ [mm] \binom{6}{2}$ [/mm] und für die Zahl 6 bleiben $ [mm] \binom{4}{2} [/mm] $

Nun überleg dir wie du mit diesen Zahlen die Aufgabe d) ähnlich wie Aufgabe c) lösen kannst.

Falls noch unklar bleibt, was zu tun ist: Multipliziere jeweils die Anzahl der Möglichkeiten [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] an Belegungen mit den Wahrscheinlichkeiten $P(1)$ bzw $P(6)$ und den Wahrscheinlichkeiten für die anderen Zahlen, die die anderen Plätze belegen.

LG,
ChopSuey


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Binomial- Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Do 27.10.2016
Autor: Teufel

Hi!

Beachte, dass das Ergebnis 222211 bei dir nicht enthalten ist, obwohl es hier auch 3 gerade Zahlen hintereinander gibt.

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Binomial- Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Do 27.10.2016
Autor: chrisno

Bei dieser Art von Aufgaben halte ich eine genaue Formulierung für besonders wichtig.
"sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade"
schließt meiner Meinung nicht aus, dass weitere gerade Zahlen auftreten. Falls der Originaltext anders lautet, stimmt meine folgende Betrachtung nicht.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
Anzahl aller möglichen Abfolgen in der gerade (g) und ungerade (u) auftreten ....
Die Anzahl der Abfolgen in der drei hintereinander auftretende Zahlen gerade sind, zähle ich so ab:
1. gggxyz für x,y,z kann jeweils g oder u stehen, das ergibt .... Möglichkeiten.
2. ugggxy für x,y kann jeweils g oder u stehen, das ergibt .... Möglichkeiten.
3. xugggy für x,y kann jeweils g oder u stehen, das ergibt .... Möglichkeiten.
4. xyuggg für x,y kann jeweils g oder u stehen, das ergibt .... Möglichkeiten.

Summe der Möglichkeiten aus 1 - 4 dividiert durch die Anzahl aller möglichen Abfolgen ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Das ergibt nicht die angegebene "Lösung".



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Binomial- Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Do 27.10.2016
Autor: Teufel

Hi!

Beachte, dass du dabei Ergebnisse doppelt zählst. 222211 ist bei dir in Ereignis 1 und 2 drinnen.

Bezug
                        
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Binomial- Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Do 27.10.2016
Autor: chrisno

Das verstehe ich noch nicht. Ergebnis 2 beginnt immer mit u.

Bezug
                                
Bezug
Binomial- Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Mi 02.11.2016
Autor: Teufel

Sorry, hab mich vertan! Du hast natürlich Recht.

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