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Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Fr 26.01.2018
Autor: rubi

Aufgabe
Beweise:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \vektor{m-n \\ n-k} [/mm] = [mm] \vektor{m \\ n} [/mm]

Hallo zusammen,

kann die obige Formel nur mit vollständiger Induktion nachgewiesen werden ?
Oder gibt es eine andere Methode, dies zu zeigen ?

Vielen Dank für eure Hinweise.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Fr 26.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Beweise:
>  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \vektor{m-n \\ n-k}[/mm] =
> [mm]\vektor{m \\ n}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>
> kann die obige Formel nur mit vollständiger Induktion
> nachgewiesen werden ?
> Oder gibt es eine andere Methode, dies zu zeigen ?
>  
> Vielen Dank für eure Hinweise.
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.



Wenn man einen anschaulichen Beweis als solchen zulässt, geht es auch anders (man muss sich ja auch mal fragen, wie man auf eine solche Beziehung kommt, und das ist wahrscheinlich so entstanden).

Dazu brauchst du aber die Tatsache, dass [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] angibt, wie viele Mgl. es gibt, k Elemente aus einer n-Menge zu ziehen.


Lösung:

Wir stellen uns einen Beutel mit m Perlen vor, von denen n golden und m-n blau sind. Daraus dürfen wir nun n ziehen (in der Hoffnung, genau die n goldenen zu erhalten, aber dass ist hier unbedeutend).

Dafür gibt es genau [mm]\vektor{m \\ n}[/mm] Mgl. (rechte Seite der Gleichung).

Jetzt fragen wir uns, wie das Ganze aussieht, wenn wir es nach Anzahl der goldenen Perlen aufdröseln.

Wir können 0 goldene ([mm]\vektor{n \\ 0}[/mm] Mgl.) und n blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-0}[/mm] Mgl.) ziehen.

Wir können 1 goldene ([mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] Mgl.) und n-1 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-1}[/mm] Mgl.) ziehen.


Wir können 2 goldene ([mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] Mgl.) und n-2 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-2}[/mm] Mgl.) ziehen...


Wir können n goldene ([mm]\vektor{n \\ n}[/mm] Mgl.) und n-n=0 blaue Perlen ([mm]\vektor{m-n \\ n-n}[/mm] Mgl.) ziehen.

Alle diese Mgl. geben die linke Seite der Gleichung, da man jedes Mal das entsprechende Produkt bilden und alle aufsummieren muss.

Hinweis: Falls es weniger blaue als goldene Perlen gibt, wäre m-n < n, und z.B. [mm]\vektor{m-n \\ n-0}[/mm] wäre nicht definiert. Dieser Ausdruck bekommt dann aber den Wert 0 (nach Konvention), und damit fällt dieser Summand aus. Somit funktioniert die Formel auch für diesen Fall.

Bezug
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