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Binomialkoeffizient Beweis 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Sa 31.01.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Zeige für k [mm] \ge [/mm] 2:

[mm] \bruch{\binom{2k}{k}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{1 * 3 * ... * (2k - 1)}{2 * 4 * ... * (2k)} [/mm]

Hallo,

eine ganz ähnliche Frage wie die, die ich neulich stellte. Nur habe ich dieses Mal gar keine Lösung gegeben. Mein Ansatz:

[mm] \bruch{\binom{2k}{k}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{2k * (2k - 1) * (2k - 2) * ... * (k + 1)}{k!}}{2^{2k}} [/mm] = [mm] \bruch{k * (k - \bruch{1}{2})*(k-1)*...*(\bruch{k}{2} + \bruch{1}{2})}{2*4*...*2k} [/mm]

Der Nenner passt also schon einmal, aber wie kann ich den Zähler umformen?

Vielen Dank für jede Hilfe!

Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Sa 31.01.2015
Autor: Ladon

Hallo sandroid,

und [willkommenmr]
Manchmal ist es hilfreich noch mal ganz neu anzusetzen und stur die Definitionen zu nutzen.
Wir werden im folgenden [mm] 2^{2k}=(2^{2})^k=(2\cdot 2)^k=2^k\cdot2^k [/mm] nutzen:
[mm] $\frac {\vektor{2k\\k}}{2^{2k}}:=\frac{\frac{2k\cdot (2k-1)\cdot ...\cdot (k+1)\cdot k \cdot ...\cdot2\cdot 1}{(2k-k)! k!}}{2^{2k}}=\frac{ 2k\cdot (2k-1)\cdot ...\cdot (k+1)\cdot k \cdot ...\cdot2\cdot 1}{k! k!2^{k}2^k}$ [/mm]
$= [mm] \frac{ 2k\cdot (2k-1)\cdot ...\cdot (k+1)\cdot k \cdot ...\cdot2\cdot 1}{k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\cdot2^{k}\cdot k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\cdot 2^k} [/mm] = [mm] \frac{ 2k\cdot (2k-1)\cdot ...\cdot (k+1)\cdot k \cdot ...\cdot2\cdot 1}{2k\cdot (2k-2)\cdot ...\cdot 4\cdot 2\cdot 2k\cdot (2k-2)\cdot ...\cdot 4\cdot 2} [/mm] $
[mm] $=\frac{ (2k-1)\cdot (2k-3) ...\cdot3\cdot 1}{ 2k\cdot (2k-2)\cdot ...\cdot 4\cdot 2} [/mm] $,
was zu zeigen war.
Das letzte "=" ergibt sich durch Kürzen.

LG
Ladon

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Sa 31.01.2015
Autor: sandroid

Hallo,

vielen Dank für die rasche, sehr gut verständliche Antwort.
Hat mir sehr weiter geholfen.

Gruß,
sandroid

Bezug
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