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Binomialkoeffizienten: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Aufgabe
Hallo liebe Community,

ich soll folgende Aufgabe Beweisen, wobei mir wenn ich alles richtig gerechnet habe der letzte Schritt nicht klar ist.

[mm] \foraal [/mm] x [mm] \in \IR, \forall [/mm] k [mm] \in \IN \ge0 [/mm] : [mm] \vektor{x \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{x+1 \\ k} [/mm]

Mein Rechenweg:

[mm] \vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!} [/mm]
[mm] =\bruch{x!(k-1)+x!(x-k)!}{(k-1)!(x-k)!}=\bruch{x!k-x!+x!+x!x-x!k}{(k-1)!(x-k)}! [/mm]
[mm] =\bruch{x!(x+1)}{(k-1)!(x-k)!} [/mm] Wie komme ich jetzt von diesem Term (unter der Voraussetzung das alles richtig ist auf [mm] \vektor{x+1 \\ k} [/mm] ?


Ich hoffe das mir einer helfen kann!

Vielen Dank im Voraus!

Skyrula

        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Fr 31.10.2014
Autor: chrisno


> [mm]\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{x!(k-1)+x!(x-k)!}{(k-1)!(x-k)!}[/mm]

Das rechne mal langsam vor. Wie lautet Dein Hauptnenner, bevor Du die Brüche addierst?

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Hauptnenner
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

[mm] \bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k-1)!}=\bruch{x!+x!}{(k!(x-k)!)((k-1)!(x-k-1)!)} [/mm]

So ein dummer Fehler, ist es denn so richtig? Zusammenfassen würde ich es dann im nächsten Schritt

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Fr 31.10.2014
Autor: Steffi21

Hallo, du hast

[mm] \vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!*(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!*(x-k+1)!} [/mm]

der Hauptnenner lautet k!*(x-k+1)!

erweitere den 1. Summanden mit (x-k+1) denn (x-k)!*(x-k+1)=(x-k+1)!
erweitere den 2. Summanden mit k denn (k-1)!*k=k!

dann alles auf einen Bruchstrich, ein Hinweis gebe ich dir noch, klammere dann im Zähler x! aus

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Vielen Dank für die Antwort,

ich habe nun folgendes errechnet und hoffe, das es bis dahin jetzt endlich stimmt, denn langsam wird es peinlich für mich:

[mm] \bruch{x!(x-k+1)}{(k!(x-k)!)(x-k+1)}+\bruch{x!k}{k((k-1)!(x-k+1)!)} [/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)}{k!(x-k+1)!}+\bruch{x!k}{k!(x-k+1)!} [/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!k}{k!(x-k+1)!} [/mm]
= [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k+1)!} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Fr 31.10.2014
Autor: Fulla


> Vielen Dank für die Antwort,

>

> ich habe nun folgendes errechnet und hoffe, das es bis
> dahin jetzt endlich stimmt, denn langsam wird es peinlich
> für mich:

>

> [mm]\bruch{x!(x-k+1)}{(k!(x-k)!)(x-k+1)}+\bruch{x!k}{k((k-1)!(x-k+1)!)}[/mm]

> = [mm]\bruch{x!(x-k+1)}{k!(x-k+1)!}+\bruch{x!k}{k!(x-k+1)!}[/mm]

> = [mm]\bruch{x!(x-k+1)+x!k}{k!(x-k+1)!}[/mm]

[ok]
Klammere jetzt im Zähler x! aus und fasse zusammen.

> = [mm]\bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k+1)!}[/mm]

[notok]
Wie wird denn aus dem k im vorherigen Term ein k+1?


Lieben Gruß,
Fulla
 

Bezug
                                                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k+1)!} [/mm]

das müsste glaub ich doch so sein [mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k-1)}{k!(x-k+1)!} [/mm] oder?

X Ausklammern:

[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!(k+1)}{k!(x-k-1)!}=\bruch{x!x-x!k+x!+x!k-x!}{k!(x-k+1)!} [/mm]
[mm] =\bruch{x!x}{k!(x-k+1)!} [/mm]

hoffe das war so gemeint!

Vielen Dank für die ganze Hilfe

Bezug
                                                        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Fr 31.10.2014
Autor: Steffi21

Hallo, bis hier war alles ok, hat Fulla dir schon gesagt

[mm] \bruch{x!(x-k+1)+x!k}{k!(x-k+1)!} [/mm]

im Zähler x! ausklammern

[mm] =\bruch{x!(x-k+1+k)}{k!(x-k+1)!} [/mm]

[mm] =\bruch{x!(x+1)}{k!(x-k+1)!} [/mm]

[mm] =\bruch{(x+1)!}{k!(x-k+1)!} [/mm]

jetzt bedenke x-k+1=x+1-k

jetzt schaffst du auch noch den letzten Schritt

Steffi


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Binomialkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Ich bin völlig leer im Kopf! Ich möchte mich bei allen bedanken die mir geholfen haben, aber selbst der letzte Schritt wir mir nicht in die Birne kommen wie ich das aufschreiben soll.

Bezug
                                                                        
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Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Fr 31.10.2014
Autor: Fulla

Hallo Skyrula,

wie wär's mit
[mm]\ldots= \frac{(x+1)!}{k!\cdot (x-k+1)!}=\frac{(x+1)!}{k!\cdot ((x+1)-k)!}=\binom{x+1}{k}[/mm]?

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                                                                                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Mir ist völlig unklar, wieso der Nenner am Ende k ergibt. könnte mir das noch jemand erklären? Tausend Dank

$ [mm] \ldots= \frac{(x+1)!}{k!\cdot (x-k+1)!}=\frac{(x+1)!}{k!\cdot ((x+1)-k)!}=\binom{x+1}{k} [/mm] $

Bezug
                                                                                        
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Binomialkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 31.10.2014
Autor: Fulla

Hallo Skyrula,

ich weiß nicht, ob die untere Zahl beim Binomialkoeffizienten einen Namen hat, aber "Nenner" heißt sie bestimmt nicht...

Betrachte die Definition des Binomialkoeffizienten:
[mm]\binom {\green{n} }{\blue{k}} =\frac{\green{n}!}{\blue{k}!\cdot (\green{n}-\blue{k})!}[/mm]

Hier hast du [mm]\frac{\green{(x+1)}!}{\blue{k}!\cdot (\green{(x+1)}-\blue{k})!}=\binom{\green{x+1}}{\blue{k}}[/mm].

Jetzt klarer?
Lieben Gruß,
Fulla

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Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Vielen vielen Dank!!!

Bezug
        
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Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Fr 31.10.2014
Autor: Fulla

Hallo Skyrula!


> Mein Rechenweg:

>

> [mm]\vektor{x \\ k}+\vektor{x \\ k-1}=\bruch{x!}{k!(x-k)!}+\bruch{x!}{(k-1)!(x-k\red{-1})!}[/mm]

Bei der rot markierten Stelle muss +1 stehen, denn [mm]x-(k-1)=x-k+1[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Fr 31.10.2014
Autor: Skyrula

Danke, ist korrigiert.

Stimmt denn mein Hauptnenner jetzt?

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