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Forum "Induktionsbeweise" - Binominalkoeffizienten
Binominalkoeffizienten < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Binominalkoeffizienten: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 So 30.10.2011
Autor: diecaro

Aufgabe 1
Beweisen sie folgendes:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: \summe_{j=0}^{n} (-1)^j \vektor{n \\ j} [/mm] = 0

Aufgabe 2
Zeigen sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion über n, dass die folgende Summenformel für alle m,n [mm] \in \IN0 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{m+n+1 \\ m+1} [/mm]

Ich habe beide Aufgaben versucht mit Induktion und mit Umschreibung in Binomialkoeffizienten zu lösen. Leider kam ich bei beiden nicht weiter. Da der Beweis bei mir nicht aufging. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binominalkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 So 30.10.2011
Autor: abakus


> Beweisen sie folgendes:
>  [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: \summe_{j=0}^{n} (-1)^j \vektor{n \\ j}[/mm]
> = 0
>  Zeigen sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen
> Induktion über n, dass die folgende Summenformel für alle
> m,n [mm]\in \IN0[/mm] gilt:
>  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k \\ m}[/mm] = [mm]\vektor{m+n+1 \\ m+1}[/mm]
>  
> Ich habe beide Aufgaben versucht mit Induktion und mit
> Umschreibung in Binomialkoeffizienten zu lösen. Leider kam
> ich bei beiden nicht weiter. Da der Beweis bei mir nicht
> aufging. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Induktion geht! Zeige deinen Rechenweg, dann finden wir die Stelle wo es klemmt.
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 30.10.2011
Autor: diecaro

1. Aufgabe

[mm] \summe_{j=0}^{n} (-1)^j [/mm] n!/(j!*(n-j)!=0
und wenn ich jetzt für n=1 einsetze kommt nicht null raus, oder?

2. Aufgabe

[mm] \summe_{k=0}^{n}(m+k)!/(m!k!)=(m+n+1)!/((m+1)!n!) [/mm]
IA: n=1:
[mm] \summe_{k=0}^{1}(m+k)!/(m!k!)=(m+2)!/(m+1)! [/mm]

ist der Weg bis dahin okay? leider komme ich jetzt nicht mehr weiter bin in deisem Gebiet der Mathe noch nicht so fit! Danke wenn du mir da weiterhelfen kannst.

Bezug
        
Bezug
Binominalkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 So 30.10.2011
Autor: fred97

Bei Aufgabe 1 steht nichts von Induktion.

Denk mal an den binomischen Satz und an [mm] (1-1)^n=0 [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 So 30.10.2011
Autor: diecaro

okay, dann setzte ich das einfach so ein, oder:

[mm] \summe_{j=0}^{n} (-1)^j [/mm] n!/(j!(n-j)!) =0
[mm] (-1)^0 [/mm] n!/(0!(n-0)!) + [mm] (-1)^n [/mm] n!/(n!(n-n)!) =0
1n(n-1)!/(n(n-1)!) +  [mm] (-1)^n [/mm] n(n-1)!/(n(n-1)!) =0
[mm] 1+(-1)^n=0 [/mm]

und das ist dann das selbe wie du meinst oder wie? weil der binomische satz habe ich noch gar nicht gekannt... oder kann mich nicht mehr daran erinnern... :(

Bezug
                        
Bezug
Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 So 30.10.2011
Autor: fred97


> okay, dann setzte ich das einfach so ein, oder:
>  
> [mm]\summe_{j=0}^{n} (-1)^j[/mm] n!/(j!(n-j)!) =0

Das sollst Du zeigen !



>  [mm](-1)^0[/mm] n!/(0!(n-0)!) + [mm](-1)^n[/mm] n!/(n!(n-n)!) =0
>  1n(n-1)!/(n(n-1)!) +  [mm](-1)^n[/mm] n(n-1)!/(n(n-1)!) =0
>  [mm]1+(-1)^n=0[/mm]
>  
> und das ist dann das selbe wie du meinst oder wie?

Ne, da oben steht nur Unsinn

>  weil der
> binomische satz habe ich noch gar nicht gekannt... oder
> kann mich nicht mehr daran erinnern... :(


Bin. Satz:



    [mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} [/mm]

FRED

Bezug
                        
Bezug
Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 So 30.10.2011
Autor: diecaro

Hey danke für die Antwort! Doch ich sitze voll auf dem Schlauch. Ich habe  gerade keine Ahnung was du mir sagen wolltest.

Bezug
                                
Bezug
Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 So 30.10.2011
Autor: diecaro

okay. ich habs jetzt doch kapiert.... war ne schwere geburt ich weiß.... ;)

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