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Forum "Folgen und Reihen" - Binomische Reihe
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Binomische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Sa 26.08.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe etwas bei der binomischen Reihe nicht.


a) Für [mm] \alpha \ge [/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe

[mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n [/mm]

absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].


Beweis hierzu:

a) Da die binomische Reihe für [mm] \alpha \in \IN [/mm] abbricht, wird [mm] \alpha \notin \IN [/mm] angenommen.

Aus einem vorigen Hilfssatz der asymptotischen Beziehung [mm] \left| \vektor{\alpha\\n} \right| [/mm] ~ [mm] \frac{c}{n^{1+\alpha}} [/mm] mit c [mm] \in \IR [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] folgt, dass eine Konstante K > 0 existiert mit

[mm] \left| \vektor{\alpha\\n} \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1.

Da die Reihe [mm] \summe \frac{1}{n^{1+\alpha}} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] > 0 konvergiert, folgt die Behauptung.

---------------


Meine Frage nun hierzu: Benutzt man das Majorantenkriterium, so wird ersichtlich, dass die Reihe im besagten Intervall [-1,1] absolut konvergiert.
Aber woraus folgt die gleichmäßige Konvergenz?

So wie immer, wäre ich euch auch dieses Mal dankbar für eure Antworten!


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Binomische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Sa 26.08.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Ich verstehe etwas bei der binomischen Reihe nicht.
>  
>
> a) Für [mm]\alpha \ge[/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe
>  
> [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n[/mm]
>  
> absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
>  
>
> Beweis hierzu:
>  
> a) Da die binomische Reihe für [mm]\alpha \in \IN[/mm] abbricht,
> wird [mm]\alpha \notin \IN[/mm] angenommen.
>  
> Aus einem vorigen Hilfssatz der asymptotischen Beziehung
> [mm]\left| \vektor{\alpha\\n} \right|[/mm] ~ [mm]\frac{c}{n^{1+\alpha}}[/mm]
> mit c [mm]\in \IR[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] folgt, dass eine Konstante
> K > 0 existiert mit
>  
> [mm]\left| \vektor{\alpha\\n} \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}}[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1.
>  
> Da die Reihe [mm]\summe \frac{1}{n^{1+\alpha}}[/mm] für [mm]\alpha[/mm] > 0
> konvergiert, folgt die Behauptung.
>  
> ---------------
>  
>
> Meine Frage nun hierzu: Benutzt man das
> Majorantenkriterium, so wird ersichtlich, dass die Reihe im
> besagten Intervall [-1,1] absolut konvergiert.
>  Aber woraus folgt die gleichmäßige Konvergenz?

Wir haben doch:



$ [mm] \left| \vektor{\alpha\\n}x^n \right| \le \frac{K}{n^{1+\alpha}} [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ 1 und für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$.

Es folgt: die bin. Reihe konv. in jedem $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ absolut. Und mit dem Weierstraß - Kriterium folgt die glm. Konvergenz auf [-1,1]

>  
> So wie immer, wäre ich euch auch dieses Mal dankbar für
> eure Antworten!
>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Binomische Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Sa 26.08.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred,

alles klaro Danke, also doch das Weierstraß'sche Konvergenzkriterium wie ich vermutete :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
        
Bezug
Binomische Reihe: Indices ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 So 27.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> > a) Für $ [mm] \alpha \ge [/mm] $ 0 konvergiert die binomische Reihe

> > $ [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n [/mm] $

> > absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].



So geschrieben stimmt dies ganz bestimmt nicht !
Indices beachten !

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Binomische Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:34 So 27.08.2017
Autor: X3nion


> > > a) Für [mm]\alpha \ge[/mm] 0 konvergiert die binomische Reihe
>
> > > [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^n[/mm]
>  
> > > absolut und gleichmäßig im Intervall [-1, +1].
>
>
>
> So geschrieben stimmt dies ganz bestimmt nicht !
>  Indices beachten !
>  
> LG ,   Al-Chw.

Ups, dann setze ich gleich mal [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n} x^{n} [/mm] :-)


Gruß X3nion

Bezug
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