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"Blöde" Frage...: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:52 Mo 14.06.2004
Autor: Ute

... aber was war noch mal eine umgekehrte Kurvendiskussion? Was hat man da gegeben und was ist gesucht?
Wie geht man beim rechnen vor?
Könnt ihr mir vielleicht eine Übungsaufgabe geben?
Dankeschön im Voraus,
Ute

        
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"Blöde" Frage...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mo 14.06.2004
Autor: informix

Hallo Ute,

> ... aber was war noch mal eine umgekehrte Kurvendiskussion?

ich kenne diesen Begriff nicht, aber ich vermute, daß man darunter den Aufgabentyp versteht, bei dem einige Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und man daraus den Funktionsterm ermitteln soll.

> Was hat man da gegeben und was ist gesucht?
>  Wie geht man beim rechnen vor?
>  Könnt ihr mir vielleicht eine Übungsaufgabe geben?

Einfacher Typ:
eine Parabel zweiter Ordnung hat einen Hochpunkt bei x=2 und schneidet die y-Achse bei 1 und hat dort die Steigung 3.

Wie würdest du damit umgehen?
Überlege dir, die der Term einer Parabel 2. Ordnung im allgemeinen aussehen muss.

Zeig uns doch bitte mal deinen Ansatz, dann helfe ich dir weiter.

>  Dankeschön im Voraus,
>  Ute
>  

gern geschehen,


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"Blöde" Frage...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 14.06.2004
Autor: Ute

also HP (2/?)
P1 (0/1) und tangentensteigung =3

f(x)=ax²+bx+c ist gesucht
c=0 wurde mir mal so beigebracht aber ich weiß nicht mehr warum der letzte Parameter wegfällt?

Ich hätte jetzt folgendes gemacht:
1= a*0² + b*0

weiter komm ich nicht.
Ichweiß nur, dass dann noch was mit der 1. Ableitung ist, da die ja die Steigung der Ausgangsfunktion angibt.

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"Blöde" Frage...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mo 14.06.2004
Autor: Andi


> also HP (2/?)
>  P1 (0/1) und tangentensteigung =3
>  
> f(x)=ax²+bx+c ist gesucht

richtig !!

>  c=0 wurde mir mal so beigebracht aber ich weiß nicht mehr
> warum der letzte Parameter wegfällt?

wer hat dir das beigebracht ? also im Allgemeinen kann man nicht sagen dass c gleich Null ist

> Ich hätte jetzt folgendes gemacht:
>  1= a*0² + b*0

das ist schon mal der richtige Ansatz nur leider bist du davon ausgegangen dass c = 0 gilt, was aber falsch ist

1= a*0² + b*0+c  wäre richtig
  

> weiter komm ich nicht.

ich bin der meinung, dass du es nun können müsstest, drum will ich dir nicht den spass und das erfolgserlebnis nehmen es selber zu machen *g*

>  Ichweiß nur, dass dann noch was mit der 1. Ableitung ist,
> da die ja die Steigung der Ausgangsfunktion angibt.

genau, irgendwas mit der 1.Ableitung *g* naja du musst jetzt die anderen Angaben noch mathematisch ausdrücken, damit erhällst du zwei weitere Gleichungen, insgesamt solltest du dann drei gleichungen mit den drei unbekannten a,b,c, bekommen, dieses gleichungssystem ist lösbar und du erhällst daraus die parameter a,b,c

ich wünsch dir viel spass .... und falls du doch noch einen kleinen tip brauchst, meld dich einfach

ciao andi


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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Mo 14.06.2004
Autor: Andi

Hallo Ute,
ich hab mir gedacht, damit du schnell deine Lösung kontrollieren kannst, stell ich schon mal die Lösung der Aufgabe rein.

Gegeben:
Der Graph der Funktion ist eine Parabel zweiter Ordnung.
Mit dem Hochpunkt bei HP (2/?)
Und der Steigung m der Tangent m=3 im Punkt P1 (0/1)

Da der Graph eine Parabel zweiter Ordnung ist handelt es sich um eine Quadratische Funktion, die Gleichung lautet im allgemeinen:
f(x)=ax²+bx+c

der Punkt P1 (0/1) liegt auf dem Graph und muss somit die Funktionsgleichung erfüllen.

1= a*0² + b*0+c daraus folgt c=1

Der Steigung hat in diesem Punkt den Wert 3
also gilt: f'(x)=2*a*x +b für x=0: f'(0)=3=2*a*0+b daraus folgt b=3

Der Graph hat einen Hochpunkt bei HP(2/?)
also gilt: f'(2)=0=2*a*2+3 daraus folgt [mm] a=\bruch{-3}{4} [/mm]

Ergebnis:[mm] f(x)=\bruch{-3}{4}x^2+3x+1 .[/mm]



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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mo 14.06.2004
Autor: informix

Hallo Andi, hallo Ute,

Andi: danke, dass du weiter gemacht hast - auch wenn ich eigentlich Ute verlocken wollte, allein weiter zu machen. ;-)
Ute: du solltest aber unbedingt noch einmal nachfragen, wenn dir einer der Schritte unklar sein sollte.
Denn diese Sorte Aufgaben ist (bei Lehrern) sehr beliebt, weil man daran schnell sehen kann, ob die Schüler die Grundzüge der Kurvendiskussion verstanden haben.
Und darum ist hier auch nicht die gesuchte Funktion das Wichtigste (war absichtlich ziemlich einfach gewählt), sondern das Verfahren mußt du durchschauen, um weiter zu kommen.
Aber das hat Andi schon gut erkärt.

> Hallo Ute,
> ich hab mir gedacht, damit du schnell deine Lösung
> kontrollieren kannst, stell ich schon mal die Lösung der
> Aufgabe rein.
>  
> Gegeben:
>  Der Graph der Funktion ist eine Parabel zweiter Ordnung.
>
> Mit dem Hochpunkt bei HP (2/?)
>  Und der Steigung m der Tangent m=3 im Punkt P1 (0/1)
>
>
> Da der Graph eine Parabel zweiter Ordnung ist handelt es
> sich um eine Quadratische Funktion, die Gleichung lautet im
> allgemeinen:
>  f(x)=ax²+bx+c
>
> der Punkt P1 (0/1) liegt auf dem Graph und muss somit die
> Funktionsgleichung erfüllen.
>  
> 1= a*0² + b*0+c daraus folgt c=1
>  
> Der Steigung hat in diesem Punkt den Wert 3
> also gilt: f'(x)=2*a*x +b für x=0: f'(0)=3=2*a*0+b daraus
> folgt b=3
>  
> Der Graph hat einen Hochpunkt bei HP(2/?)
>  also gilt: f'(2)=0=2*a*2+3 daraus folgt [mm]a=\bruch{-3}{4}[/mm]
>  
> Ergebnis:[mm] f(x)=\bruch{-3}{4}x^2+3x+1 .[/mm]
>  

noch eine Aufgabe?

Der Graph einer ganz-rationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung.
Der Punkt W(2;4) ist ein Wendepunkt, die Wendetangente hat die Steigung -3.

Findest du den Funktionsterm?
Poste deine Lösung, damit wir sie kontrollieren können.



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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 17.06.2004
Autor: Ute

Ich habe für die neu gestellte Aufgabe folgendes raus:
a=1,25
b=-7,5
c=12
d=0

Bitte sag mir, dass das richtig ist?

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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Do 17.06.2004
Autor: informix

Hallo Ute,

schade dass du nicht deinen Rechenweg hier aufschreibst; dann kann man viel schneller kontrollieren ob und wo ein Fehler steckt.

> Ich habe für die neu gestellte Aufgabe folgendes raus:
>  a=1,25
>  b=-7,5
>  c=12
>  d=0
>  
> Bitte sag mir, dass das richtig ist?
>  

Warum soll ich dir das sagen?
Du kannst doch selbst die Probe machen, indem du die gefundenen Werte in die allg. Gleichung für eine Funktion 3. Grades einsetzt und dann prüfst, ob die Bedingungen mit den Punkten und Eigenschaften übereinstimmen.
Das genau ist nämlich der Sinn dieses Aufgabentyps, dass man eigentlich zweimal eine Kurvendiskussion durchführt, aber dadurch belohnt wird, dass man gleich die Bestätigung erhält, wenn alles richtig ist.

Langer Rede, kurzer Sinn: deine Werte halten einer solchen Probe stand. [ok]
Du kannst nach diesem Schema auch selbst Aufgaben erfinden
und deiner Freundin zum Lösen anbieten [hot]
Probier's mal ;-)


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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Do 17.06.2004
Autor: Ute

Das mit dem Überprüfen meiner Werte verstehe ich noch nicht. Welche Bedingungen meinst du?


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"Blöde" Frage...: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Do 17.06.2004
Autor: informix

Hallo Ute,
> Das mit dem Überprüfen meiner Werte verstehe ich noch
> nicht. Welche Bedingungen meinst du?
>  

Meine Aufgabe lautete:
Der Graph einer ganz-rationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung.
Der Punkt W(2;4) ist ein Wendepunkt, die Wendetangente hat die Steigung -3.

Hier werden doch eigenschaften (Bedingungen) für die gesuchte Funktion 3. Grades angegeben, die man überprüfen kann:

allg. Term: [m]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/m]
"geht durch Ursprung": [m]f(0)=0=a*0+b*0+c*0+d \Rightarrow d=0[/m]

"geht durch W(2;4)": [m]f(2)=4=a*2^3+b*2^2+c*2[/m]

1. Ableitung allg.: [m]f'(x)=3a*x^2+2b*x+c[/m]
2. Ableitung allg.: [m]f''(x)=6ax+2b[/m]

"W ist Wendepunkt" $f''(x W )=0$
also: [m]f''(2)=0=6a*2+2b[/m]

"Steigung der Wendetangente ist gleich -3":
[mm] $f'(2)=-3=3a*2^2+2b*2+c$ [/mm]

Damit hast du insgesamt 4 Gleichungen für die 4 Koeffizienten a,b,c,d.
Betrachte sie beim Auffinden der Lösung als Gleichungssystem, das lösbar sein sollte.

Aber diese Gleichungen beschreiben eben auch die Eigenschaften der gesuchten Funktion; wenn du dann die Koeffizienten gefunden hast, untersuchst du die dann bekannte Funktion, ob die Punkte mit ihren Koordinaten tatsächlich die Funktionsgleichung erfüllen, ob der Wendepunkt tatsächlich dort liegt und ob die Steigung im Wendepunkt wirklich -3 ist.

Du siehst, es ist eigentlich gar nicht schwer, wenn man einmal das Prinzip verstanden hat, oder? [aufgemerkt]
Man muss eigentlich nur die Regeln der Kurvendiskussion anwenden ...

Probier's mal mit einer weiteren Aufgabe!

Du kannst sie gerne hier posten, ich schau sie dann genauer an, wenn du mir deinen Rechenweg verrätst ;-)



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