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Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Aufgabe
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm]

Hallo,
ich habe gerade ein Problem mit obiger Aufgabe. Ich soll sie durch vollständige Induktion beweisen, komme da aber zu keinem vernünftigen Ergebnis.

Man kann das Summenzeichen ja aufteilen in
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} +\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1}, [/mm] das ist dann laut Induktionsvoraussetzung = [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} [/mm]
Wie kann ich jetzt diesen Bruch so umformen, dass ich da irgendwann [mm] =\bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm] stehen habe? Ich bin zu allen möglichen komischen Ergebnissen gekommen, häufig war bei mir der Bruch irgendwann =1.
Eine Zwischenstufe, die sehr vernünftig aussah, wo ich aber auch nicht weiterkam, war = [mm] \bruch{n}{n+1} +\bruch{1}{(n+1)*(n+1)+(n+1)} [/mm]
Kann mir jemand helfen? Danke :)
mit verzweifelten Grüßen,
Lisa

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bruchrechen-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 So 18.01.2009
Autor: angela.h.b.


> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1}[/mm]
>  Hallo,
> ich habe gerade ein Problem mit obiger Aufgabe. Ich soll
> sie durch vollständige Induktion beweisen, komme da aber zu
> keinem vernünftigen Ergebnis.
>  
> Man kann das Summenzeichen ja aufteilen in
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} +\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1},[/mm]
> das ist dann laut Induktionsvoraussetzung =
> [mm]\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

den Bruch [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1} [/mm] können wir uns zum rechnen ja etwas genießbarer zubereiten, denn [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1}=\bruch{1}{(n+1)((n+2)} [/mm]

Du hast dann also

[mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}=\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}= [/mm]   (jetzt ist der Hauptnenner dran)

[mm] =\bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}=\bruch{ n^2+2n + 1}{n(n+1)((n+2))} [/mm] =  (jetzt oben binomische Formel und dann weiter.

Gruß v. Angela




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Bezug
Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Hallo Angela,
erst einmal danke für deine Begrüßung und danke für deine Mühe! :-)
Ich habe nun aber doch noch ein paar Fragen zu deiner Antwort.
Wie ich zu [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))} [/mm] komme, ist mir klar.
Aber wie kommst du dann auf [mm] \bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))} [/mm] ? Darf man in einer Summe einfach einen Bruch mit etwas (hier n+2) multiplizieren, ohne das im Zähler und/oder beim anderen Bruch zu tun?
Und wie bist du dann auf [mm] \bruch{ n^2+2n + 1}{n(n+1)((n+2))} [/mm] gekommen?
Die Zähler hast du miteinander addiert und die Nenner multipliziert?
Und, das dritte Problem: Ich komme dann immer noch nicht weiter.
Ich bin jetzt schon bei [mm] \bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+n(n^2+2n)-1} [/mm] bzw [mm] \bruch{ (n+1)^2}{n^3+3n+2n}, [/mm] aber das bringt mir irgendwie auch alles noch nichts....
Lieben Gruß,
Lisa

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Bruchrechen-Problem: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 18.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Lisa!

> Aber wie kommst du dann auf
> [mm]\bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

? Darf man in

> einer Summe einfach einen Bruch mit etwas (hier n+2)
> multiplizieren, ohne das im Zähler und/oder beim anderen
> Bruch zu tun?

Selbstverständlich nicht. Da hat Angela leider etwas unterschlagen. Dieser Bruch muss lauten:
$$\bruch{n*(n+2)}{(n+1)*\red{(n+2)}$$
Anschließend wurden dann beide Brüche auf einem Bruch zusammengefasst und die Klammer im Zähler ausmultipliziert.


Gruß
Loddar


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Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Hallo Loddar,
danke, dass du meine erste Verzweiflung schon einmal beseitigt hast ;-)

So, nun bin ich aber leider immer noch nicht wirklich schlauer.
Ich war zwischendurch auch schon bei [mm] \bruch{ n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}, [/mm] hatte da dann aber einfach das (n+2) gekürzt und war so bei [mm] \bruch{ n+1}{1+n}=1 [/mm] gelandet.
Wenn ich nun aber nicht kürze, sondern weiter rechne, komme ich zu [mm] \bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+(n+1)} [/mm]
Tja, und da steh ich wieder und komm nicht mehr weiter. Wenn ich jetzt [mm] (n+2)^2 [/mm] kürze, habe ich ja nur noch [mm] \bruch{1}{1+(n+1)} [/mm] Darf ich das jetzt einfach mal [mm] \bruch{n}{1} [/mm] nehmen, um dann zum gewünschten Bruch [mm] \bruch{ n+1}{(n+1)+1} [/mm] zu kommen?
Lieben Gruß,
Lisa

Bezug
                                        
Bezug
Bruchrechen-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 So 18.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lisa,

> Hallo Loddar,
> danke, dass du meine erste Verzweiflung schon einmal
> beseitigt hast ;-)
>  
> So, nun bin ich aber leider immer noch nicht wirklich
> schlauer.
> Ich war zwischendurch auch schon bei [mm]\bruch{ n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)},[/mm] [daumenhoch]

Und damit 1 cm vor dem Ziel!

> hatte da dann aber einfach das (n+2) gekürzt und war so bei
> [mm]\bruch{ n+1}{1+n}=1[/mm] gelandet.

Ui, nicht aus Summen kürzen!

Außerdem hast du ja erweitert, wenn du direkt wieder kürzt ist das doch doof.


Nun die Klammer ausrechnen:


[mm] $=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)\cdot{}(n+2)}$ [/mm]

[mm] $=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$ [/mm]

den Rest du!

>  Wenn ich nun aber nicht kürze, sondern weiter rechne,
> komme ich zu [mm]\bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+(n+1)}[/mm]
> Tja, und da steh ich wieder und komm nicht mehr weiter.
> Wenn ich jetzt [mm](n+2)^2[/mm] kürze, habe ich ja nur noch
> [mm]\bruch{1}{1+(n+1)}[/mm] Darf ich das jetzt einfach mal
> [mm]\bruch{n}{1}[/mm] nehmen, um dann zum gewünschten Bruch [mm]\bruch{ n+1}{(n+1)+1}[/mm]
> zu kommen?
>  Lieben Gruß,
> Lisa

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Bruchrechen-Problem: Daaaaanke :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Aaah, das war der entscheidene Zaunpfahl-Tipp, danke :-)
Ich wollte erst schon wieder den Nenner ausmultiplizieren, bis ich dann noch mal genauer darüber nachgedacht habe...
Also, vielen Dank an euch alle!!! :-)
Liebe Grüße,
Lisa

Bezug
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