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Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Gleichungen eingeben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Sa 03.01.2015
Autor: rainbird

Aufgabe
Folgende Gleichung ist gegeben (Bruchterme):
7x+3/3x-3 - [mm] 7x^2+2/3x^2-3 [/mm] = 20x-12/6x*(x-1)

Hallo zusammen!

Ich bin schwer am verzweifeln und hoffe auf eure Unterstützung.

Ich bin nun schon seit 2 Stunden dabei diese Gleichung mit dem (Equation Solver) zu lösen, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis - das hab ich nämlich vor mir liegen (L=2).

So siehts aus, wenn ich die Gleichung in den Solver eingebe:
0=(7x+3) / (3x-3) - [mm] (7x^2+2) [/mm] / [mm] (3x^2-3 [/mm] ) - (20x-12) / (6x*(x-1))

Ich krieg hier nur Error-"Ergebnisse", sprich gar keine.

Was mach ich falsch?

Ich würde mich sehr sehr freuen, wenn mir hier wer helfen könnte. Mich treibt das schon langsam in den Wahnsinn...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Sa 03.01.2015
Autor: VelvetPaws

Hallo rainbird.

Hast Du eventuell einmal statt dem Minus-Zeichen das Vorzeichen-Minus-Zeichen eingegeben?
Habe den gleichen Taschenrechner und es genau so eingegeben wie Du.
Mein Taschenrechner gibt mir X=2 zurück.

Hast Du die Solve-Taste betätigt?

Mein Vorgehen:

Variante 1:
Taste MATH drücken. Solver... (Letzter Eintrag) wählen. Hier gebe ich die Gleichung [mm] $0=(7x+3)/(3x-3)-(7x^2+2)/(3x^2-3)-(20x-12)/(6x(x-1))$ [/mm] genau so ein. Dann drücke ich Enter. Es erscheint in der ersten Zeile die Gleichung. In der zweiten Zeile steht X=... Dies ist noch nicht das Ergebnis. Hier ist nämlich ein Schätzwert einzugeben. Ich wähle $X=2.2$. Die Grenzen gehen bei mir von -1E99 bis 1E99. Dann drücke ich ALPHA+Enter. Mein Taschenrechner gibt mir das Ergebnis X=1.999999 zurück.

Bei mir hat's seltsamerweise einmal nicht mit der Variable X funktioniert. Ich habe es dann mit der Variable A (ALPHA+MATH) probiert und dann ging's auf einmal? Bzw. nach dem ich QUIT gedrückt habe und nochmal den Solver aufgerufen habe ging's.

Falls Du mit der englischen Sprache keine Probleme hast ist hier eine ausführliche Anleitung. Vielleicht findest Du somit deinen kleinen Fehler:
[]http://www.ehow.com/how_8074871_solve-texas-instruments-ti84-calculator.html

Dieses Beispiel ist anscheinend wirklich schwer für den Taschenrechner. Die Schätzwerte 0 und 1 und alle Zwischenwert geben Fehlermeldungen zurück. Für Schätzwerte ab 1.1 bis 2.9 geht alles gut. Ab 3 und größer geht's wieder schief. Für den Schätzwert -17 kam was ganz kleines raus und für -1 kam auch eine Fehlermeldung.

Bei solch seltsamen Ergebnissen solltest Du eventuell mit deinem Lehrer sprechen oder, falls Du kein Schüler mehr sein solltest, auf Alternativen zurückgreifen z.B. Wolfram Alpha:
[]http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D%287x%2B3%29+%2F+%283x-3%29+-+%287x^2%2B2%29+%2F++%283x^2-3++%29+-+%2820x-12%29+%2F+%286x*%28x-1%29%29+

Variante 2:
Lass Dir die Funktion einfach als Graphen zeichnen. Man sieht sofort, dass es Werte zwischen -2 und +2 nicht sein können. Obwohl die Funktion ziemlich doof ist, kannst Du ja am linken und rechten Kurvenende mal reinzoomen und schauen was da so passiert. Nachdem Du am rechten Kurvenende reingezoomt hast siehst Du, dass da eine Nullstelle bei 2 ist. Um sicher zu gehen kannst Du unter CALC(2ND+Trace) (2:Zero) aufrufen und einen Schätzwert angeben. Er macht dann im Prinzip genau das gleiche wie der Equation Solver, nur mit dem Vorteil, dass Du vorab schon viel präziser entscheiden kannst wo der Wert ungefähr liegen muss, da du ganz banal die Funktion siehst. Dies kann Dir unter Zeitdruck einige Zeit sparen und so viel mehr Rechen- und Zeitaufwand stellt diese Methode auch nicht dar...

Viele Grüße,
Velvet

Bezug
                
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 04.01.2015
Autor: rainbird

Hallo VelvetPaws und DANKE für deine Hilfe! :-D

Erstmal bin ich beruhigt, dass es nicht daran liegt, dass ich den Rechner falsch bediene und irgendwas ganz verkehrt mach.

Ich hab noch 3 Fragen - das konnte oder wollte mir mein Lehrer (bin kein Schüler mehr, sondern "nur" Kursteilnehmer) nicht recht erklären:

* Wann gebe ich einen Schätzwert ein bzw. wann weiß ich, dass ich einen eingeben muss?

* Woran sehe ich, in welchem Bereich der Schätzwert liegen darf? Sehe ich das an diesem -1E99 bis 1E99 ?

* Wann ist es besser den Graph zu nehmen, wann den Solver?

Wäre echt eine feine Sache, wenn du mir hier auch noch auf die Beine helfen könntest! Ich bin echt sooo seelig und dankbar, dass du mir hiflst! :-D



Bezug
                        
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Mo 05.01.2015
Autor: VelvetPaws

Hallo rainbird!

Vielen Dank für deine Rückmeldung. Da geht mir ja richtig das Herz auf, wenn Du Dich so lieb bedankst. :-)

Zu den Fragen:

1.) Wann gebe ich einen Schätzwert ein bzw. wann weiß ich, dass ich einen eingeben muss?

Du musst Dir das so vorstellen: Du rufst den Solver auf. Dann gibst Du die Gleichung ein. Dann wählst du einen Schätzwert und den Wertebereich und erst dann gibst du den Befehl "SOLVE"(ALPHA+ENTER), womit der Taschenrechner die Lösung ausrechnet. Das hat etwas mit dem Rechen-Verfahren zu tun, welches der Taschenrechner benutzt. Genau welches Verfahren der Taschenrechner benutzt weiß ich nicht, aber ich schätze es ist so etwas ähnliches wie das []Newton-Verfahren
Wenn Du auf den Link klickst siehst du eine Animation, die veranschaulicht, wie das Verfahren die Nullstelle berechnet. Ich erkläre es Dir aber in den nächsten paar Sätzen. Wir nehmen jetzt einfach mal an der Taschenrechner benutzt das Verfahren. Dann gibst Du als Schätzwert [mm] x_1 [/mm] ein und der Taschenrechner berechnet dann mit der Formel

[mm] $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ [/mm]

die Werte

[mm] $x_2(=x_{1+1})=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$, [/mm]
[mm] $x_3(=x_{2+1})=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}$, [/mm]
....,
[mm] x_n [/mm]

und gibt dies jedes mal in die Formel ein und prüft, ob die Gleichung stimmt. Hat der Taschenrechner dann ein [mm] x_n [/mm] gefunden, das ganz nah an dem wahren Wert liegt zeigt er dir diesen an. Der Rechner gibt dir einen nahen Wert an, da es in manchen Beispielen vorkommt, dass er unendlich oft die Formel anwenden müsste damit er auf den genauen Wert kommt. Deswegen gibt der Rechner dir nur einen sehr nahen Wert an. In einem solchen Fall kannst du den Wert den dir der Taschenrechner anzeigt natürlich runden und in deine Formel einsetzen und schauen, ob das Ergebnis stimmt. Das Ergebnis ist dann natürlich 2 und nicht 1.9999 (was dir dein Taschenrechner anzeigt). Theoretisch endet das Verfahren, wenn durch die Berechnung ständig der gleiche Wert berechnet würde. Das kannst Du Dir durch folgende Überlegung klar machen:

Rechne mal Spaßeshalber das Verfahren mit dem Schätzwert [mm] x_1=2 [/mm] aus. Du müsstest also zunächst [mm] $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2-\frac{f(2)}{f'(2)}$ [/mm] berechnen. Da du ja bereits weißt, dass $f(2)=0$ ist folgt: [mm] $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2-\frac{f(2)}{f'(2)}=2-0=2$, [/mm] also [mm] x_2=2=x_1. [/mm] Ist [mm] x_2=x_1 [/mm] dann bist Du fertig, denn [mm] $x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=x_2$. [/mm]
Du würdest also ständig nur den gleichen Wert ausrechnen, was dir ja nichts neues bringt.

Auch wenn der Taschenrechner vielleicht nicht genau dieses Verfahren verwendet, verwendet er wohl ein ähnliches. In jedem Fall nennt man aber solch ein Verfahren []Iteration.

2.)  Woran sehe ich, in welchem Bereich der Schätzwert liegen darf? Sehe ich das an diesem -1E99 bis 1E99 ?

Vorsicht: Der Bereich gibt an, in welchem Bereich die Lösung liegen darf!
Diesen Bereich darfst du dir auswählen, weil man das manchmal möchte. (z.B. bei einer Wurzelfunktion sollte man den Bereich größer also 0 wählen, da man ja die Wurzel nur von positiven Zahlen ziehen darf) Du könntest z.B. für deine Aufgabe den Bereich von 3 bis 100 wählen. Das bringt dir hier dann aber nichts, weil die Lösung ja 2 ist. Den Schätzwert musst du dann glaube ich auch innerhalb dieses Bereichs wählen.

Nun zu diesen -1E99 und 1E99: Es sind in Wirklichkeit nur Zahlen und zwar folgende:

-1E99= [mm] $(-1)*10^{99}$=-100000.....0000 [/mm] mit 99 Nullen.
[mm] 1E99=$1*10^{99}$=10000.....0000 [/mm] mit 99 Nullen.

Kannst ja mal in deinem Start-Bildschirm 5E2 eingeben (E gibst du mit (2ND+,) ein). Dann sollte er 500 anzeigen.


3.) Wann ist es besser den Graph zu nehmen, wann den Solver?

Variante Graph mit der Methode (2:Zero) unter "CALC"(2ND+TRACE):

Nachteil: 1.)Das Berechnung und Plotten der Funktion, gegebenenfalls das Reinzoomen in den Plot und die ganzen Tastenkombinationen die du drücken musst kosten dich natürlich wesentlich mehr Zeit.

2.) Man kann viele Einstellungsfehler machen. (Funktion falsch eingegeben, Windowgröße schlecht gewählt, falsch gezoomt,...)

Vorteile: 1.) Du siehst die Funktion und kannst besser abschätzen wo (das heißt in welchem Bereich) die Nullstelle ungefähr liegen muss. In unserem Beispiel ist das SEHR von Vorteil.
Wenn Du die Funktion plotten lässt siehst du ja sofort, dass die Funktion bei 0 und 1 so komische Sprungstellen hat und die Werte in dem Bereich ganz groß oder ganz klein werden.
Wenn Du die Funktion einfach nur in den Solver eintippst hast du diese Information nicht. Wenn du im Solver irgendwas zwischen 0 und 1 eintippst rechnet der Solver ja ewig rum. Du lässt ihn natürlich auch rechnen, weil du ja bisher noch keine Information hast und du das richtige Ergebnis erwartest. Löst Du die Sache über den Graph kannst du diese Werte gleich ausser Acht lassen.

2.) Du kannst den Wertebereich viel besser angeben, dann kann dir dein Taschenrechner auch keine seltsamen Ergebnisse angeben, wie er es macht, wenn Du beim Solver (-17) oder 3 als Schätzwert angibst.



Variante Solver:

Nachteile: Weniger Information, eventuell unbrauchbare Ergebnisse, neigt eher zu Fehlermeldungen, eher schlecht bei komplizierten Funktionen.

Vorteil: Wesentlich schneller.

Fazit: Bei sehr leichten Funktionen z.B. linearen Funktionen ($a*x+b=0$) würde sich der Aufwand die Nullstelle über den Graph zu bestimmen nicht wirklich lohnen, da man ja weiß, dass die Funktion die x-Achse nur an einem Punkt schneiden kann. Da würde ich den Solver verwenden, da es einfach viel schneller geht.

Bei komplizierteren Funktionen kann es aber von Vorteil sein den Graph zu benutzen, da Du die Funktion sehen kannst. Natürlich kann es aber auch hier sein, dass du mit dem Solver viel schneller bist. Hast Du allerdings die Nullstellen-Bestimmung über den Graphen geübt wirst du wohl Einstellungsfehler vermeiden und ein gewisses Gefühl dafür entwickelt haben und kannst daher so auf Nummer Sicher gehen.

Vielleicht sollte man es zunächst mit dem Solver probieren. Wenn er ein "rundes" Ergebnis liefert kannst Du eine Probe ausrechnen und wenn sie stimmt zufrieden sein oder 2,3 andere Schätzwerte ausprobieren, falls die Lösung nicht stimmt. Kommst du aber über längere Zeit nicht auf ein gutes Ergebnis lohnt sich einen Blick auf den Graphen. Kannst Du dort die Nullstelle entdecken kannst du mit der Zero-Methode unter "CALC" den Wertebereich auswählen und einen Schätzwert angeben. Der Taschenrechner sollte dir dann die Nullstelle ausrechnen.



Zum Schluss wollt ich noch anmerken, dass mich deine erste Frage ein bisschen in Verlegenheit bringt und möchte daher noch ganz gerne eine Rückfrage stellen:
Hast du es nun geschafft alles so in den Taschenrechner einzutippen, dass er dir genau die Lösung X=2 bzw. X=1.9999 anzeigt? Ansonsten können wir gerne noch den Schritt ausfindig machen bei dem's noch nicht richtig klappt.

Viele Grüße,
VelvetPaws

Bezug
                                
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mo 05.01.2015
Autor: rainbird

Hallo mal wieder!

Und auch diesmal vielen Dank für die wirklich ausführliche Erklärung. :-)

Bzgl. deiner Antwort zur 1. Frage:
Hast du zufällig ein Beispiel parat, bei dem kein Schätzwert eingegeben werden muss? Mir ist leider noch immer nicht ganz klar, wann ich weiß, dass ich einen eingeben muss. Erforderlich ist das ja nicht bei allein Gleichungen. Wenn ich eine Gleichung vor mir habe, dann muss ich das doch daraus irgendwie "erkennen", ob ein Schätzwert eingegeben werden muss oder nicht...

Bzgl. deiner Antwort zur 2. Frage:
Du schreibst, man darf sich den Bereich auswählen, weil man das manchmal möchte. Macht es denn keinen Unterschied, ob ich nun 1 nehme, oder 5690394 (sehr überspitzt gesagt)? Ich hab das im Unterricht mal gefragt, mein Lehrer meinte sowas in Richtung "Es soll schon halbwegs zum Ergebnis passen" - nur weiß ich aber das Ergebnis ja noch nicht.

Bzgl. deiner Frage zur von mir gestellten Gleichung - sorry, das hab ich ganz vergessen dir zu schreiben :-D
Ich hab´s gleich versucht, als du mir das geschrieben hast mit dem Schätzwert. Da kam ich dann damit auch auf 1,9999... .

Ich weiß, ich bin etwas begriffsstutzig, dabei ist das im Grunde sicher ganz simpel. :-/









Bezug
                                        
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Do 08.01.2015
Autor: rainbird

.. ich hab die Hoffnung noch nicht aufgegeben, dass mir hier jemand helfen kann. ;-)

Bezug
                                        
Bezug
Bruchtermen lösen-Solver,TI84+: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Do 08.01.2015
Autor: just0me0

zu 1)
In der Regel brauchst du keinen Schätzwert, wenn dein Problem nur eine einzige Lösung hat. Aber betrachten wir mal dieses ganz einfache Problem
[mm] x^{2}=4, [/mm]
dann gibt es zwei Lösungen -2 und 2 und das Programm weiß nun nicht, an welcher Lösung du interessiert bist.
(Falls wirklich das Newton-Verfahren als Löser dahinter steckt, würdest du bei jedem Schätzwert größer als 0 die 2 als Lösung erhalten, bei jedem Schätzwert kleiner als 0 die -2.)

Du brauchst bei mehreren Lösungen also einen Schätzwert.

zu 2) Falls deine Lösung in diesem Bereich liegt ist es egal, was du eingibst. Nehmen wir nochmal das Problem von oben. Falls 2 unsere gesuchte Lösung ist, kann ich beispielsweise folgende Bereiche angeben:
0 bis 4
1 bis 294884579348
-1.9 bis 20
Wie gesagt, es ist nun egal welchen Bereich du wählst. Die 2 liegt immer drin und das ist worauf es ankommt.

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