matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-Komplexe ZahlenComplexe Zahlen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis-Complex Numbers" - Complexe Zahlen
Complexe Zahlen < Complex Numbers < Uni-Calculus < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Complexe Zahlen: Vereinfachung
Status: (Question) answered Status 
Date: 08:29 Mi 10/01/2018
Author: b.reis

Aufgabe
Vereinfachen bzw. beweisen Sie:

a) |1+ [mm] \wurzel{3} [/mm] *i |

b) [mm] \bruch{ (7-3i)^{2}}{5-i} [/mm]

c) im( | { [mm] \wurzel{2} [/mm] +3i | [mm] }^{2}) [/mm] und im(( [mm] \wurzel{2}+3i)^{2}) [/mm]

Hallo

Leider war ich nicht in der Vorlesung und habe keine Ahnung wie ich diese Aufgaben Lösen soll.

Meine Frage ist, was muss ich alles lernen um diese Aufgaben lösen zu können?

Danke
Benni

        
Bezug
Complexe Zahlen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:47 Mi 10/01/2018
Author: Diophant

Hallo,

> Vereinfachen bzw. beweisen Sie:

>

> a) |1+ [mm]\wurzel{3}[/mm] *i |

>

> b) [mm]\bruch{ (7-3i)^{2}}{5-i}[/mm]

>

> c) [mm]im( | { \wurzel{2} +3i | }^{2})[/mm] und [mm]im((\wurzel{2}+3i)^{2})[/mm]
> Hallo

>

> Leider war ich nicht in der Vorlesung und habe keine Ahnung
> wie ich diese Aufgaben Lösen soll.

Hm. Hast du dich selbst schon mit der Materie beschäftigt?

Wenn (mit x,y reell) z=x+iy eine komplexe Zahl ist, dann versteht man unter dem Betrag |z| folgendes:

[mm] |z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2} [/mm]

Mann nennt x den Realteil und y den Imaginärteil der komplexen Zahl z.

Damit kannst du a) lösen und c) vermutlich auch (ich verstehe nicht ganz, was da zu tun ist, einfach die Imaginärteile ausrechnen?).

> Meine Frage ist, was muss ich alles lernen um diese
> Aufgaben lösen zu können?

Für diese Aufgaben auf jeden Fall:

- Definition der imaginären Einheit
- Definition der Komplexen Zahlen
- Darstellung der Komplexen Zahlen in der Gaußschen Ebene
- Die Grundrechenarten im Komplexen, insbesondere die Division
- Die Begriffe Realteil, Imaginärteil, Betrag und Argument einer komplexen Zahl
- Der Begriff der konjugierten Komplexen (Zahl)

Darüberhinaus tut man sich einen großen Gefallen, wenn man sich bei diesem Thema von vornherein für jedes einzelne Konzept die geometrische Deutung in der komplexen Ebene klarmacht, also in der oben erwähnten Gaußsche Ebene: ein Koordinatensystem, in dem die komplexen Zahlen Punkte sind, deren Koordinaten sind der Realteil x (waagerechte Achse) und der Imaginärteil y (senkrechte Achse).

Nun noch zur Aufgabe b): multipliziere hier einmal den Zähler aus und erweitere dann den Bruch mit 5+i. Was passiert?

Bei Aufgabe c) ist wie gesagt nicht ganz klar, was da gemeint ist (vor dem Hintergrund, dass am Anfang deiner Aufgabenstellung irgendwo das Wort 'Beweise' vorkommt).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Complexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:52 Mi 10/01/2018
Author: b.reis

hallo und danke für die Antwort 8)

In meiner Lösung sind Umformungen der Aufgabe a die ich nicht verstehe.


[mm] |1+\wurzel{3}i|= \wurzel{(1+\wurzel{3}i)* \neg(1+\wurzel{3}i)}=\wurzel{(1+\wurzel{3}i)* (1-\wurzel{3}i)}=\wurzel{1+3}=2 [/mm]

Das verstehe ich nicht.

Danke
Benni

Bezug
                        
Bezug
Complexe Zahlen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:04 Mi 10/01/2018
Author: Diophant

Hallo,

> hallo und danke für die Antwort 8)

>

> In meiner Lösung sind Umformungen der Aufgabe a die ich
> nicht verstehe.

>
>

> [mm]|1+\wurzel{3}i|= \wurzel{(1+\wurzel{3}i)* \neg(1+\wurzel{3}i)}=\wurzel{(1+\wurzel{3}i)* (1-\wurzel{3}i)}=\wurzel{1+3}=2[/mm]

>

> Das verstehe ich nicht.

Das müsste auch so aussehen:

[mm]\begin{aligned} \left\vert 1+ i\sqrt{3}\right\vert&=\sqrt{\left ( 1+ i\sqrt{3} \right )*\overline{\left ( 1+ i\sqrt{3} \right )}}\\ &=\sqrt{\left ( 1+ i\sqrt{3} \right )*\left ( 1- i\sqrt{3} \right )}\\ &=\sqrt{1+3}\\ &=2 \end{aligned}[/mm]

Für [mm]z=x+iy[/mm] nennt man

[mm]\overline{z}=x-iy[/mm]

die konjugiert Komplexe zu z und man kann leicht nachrechnen, dass allgemein gilt:

[mm] \left\vert z \right\vert=\sqrt{z\overline{z}}[/mm]

Das sind eben alles die Dinge, die du dir selbst aneignen solltest. Hast du geeignete Literatur? Falls nein, die []Wikipedia-Seite ist zwar (wenn man sie zum Lernen verwenden möchte) etwas durcheinander geraten, aber da steht alles drin, was für dich für den Anfang wichtig ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Complexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:38 Fr 12/01/2018
Author: b.reis

Hallo

Also zur Aufgabe c) sieht die Lösung folgendermaßen aus.

im( | { [mm] \wurzel{2} [/mm] +3i | [mm] }^{2})>=0 [/mm] und damit ist es 0.

Ich habe die Zahl so aufgelöst.

im( | { [mm] \wurzel{2} [/mm] +3i | [mm] }^{2})=|z|^2 =|x+yi|^2= \sqrt{x^2+y^2 }^{2}=x^{2}+y^2 [/mm]

das ist dann 2+9 für [mm] \wurzel{2}^2 +3^2 [/mm] aber dass ist irgendwie nicht null, ich habe mehrere Rechenwege aber ich verstehe schon die Bedeutung von "im" für den Term vor der Klammer nicht und ob die Umformung mit der Potenz und der Äquivalenz von |z| stimmt kann ich nicht sagen, da es nicht null wird.

Danke für die Antwort

Benni

Bezug
                        
Bezug
Complexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:52 Fr 12/01/2018
Author: b.reis

Ok ich habs verstanden Imaginärteil ;) is nur das i und sein Kofaktor.

Bezug
                                
Bezug
Complexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:38 So 14/01/2018
Author: Diophant

Hallo b.reis,

diese Mitteilung habe ich erst jetzt entdeckt (daher eine verspätete Antwort).

> Ok ich habs verstanden Imaginärteil ;) is nur das i und
> sein Kofaktor.

Eben nicht! Nur der Faktor vor dem i (also vor der imaginären Einheit) wird als Imaginärteil bezeichnet. Also nochmal:

Für die komplexe Zahl

z=x+iy

ist y der Imaginärteil, also

im(z)=y


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Complexe Zahlen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:54 Fr 12/01/2018
Author: Diophant

Hallo,

> Hallo

>

> Also zur Aufgabe c) sieht die Lösung folgendermaßen aus.

>

> [mm]im( | \wurzel{2}+3i |^2)=0[/mm] und damit ist es 0.

>

> Ich habe die Zahl so aufgelöst.

>

> [mm]im( | { \wurzel{2} +3i |}^{2})=|z|^2 =|x+yi|^2= \sqrt{x^2+y^2 }^{2}=x^{2}+y^2[/mm]

>

> das ist dann 2+9 für [mm]\wurzel{2}^2 +3^2[/mm] aber dass ist
> irgendwie nicht null, ich habe mehrere Rechenwege aber ich
> verstehe schon die Bedeutung von "im" für den Term vor der
> Klammer nicht und ob die Umformung mit der Potenz und der
> Äquivalenz von |z| stimmt kann ich nicht sagen, da es
> nicht null wird.

>

So ganz verstehe ich deinen Text nicht. Was meinst du mit Äquivalenz?

Das Adjektiv komplex bedeutet, wenn man es wörtlich übersetzt, so viel wie zusammengesetzt. Das ist dann auch schon die Erklärung für den Begriff der Komplexen Zahlen in der Mathematik. Sie sind stets zusammengesetzt aus einer reellen Zahl x sowie einem Vielfachen der Imaginären Einheit i, etwa y*i (wobei man gerne iy schreibt).

Also eben

z=x+iy

Für Zahlen dieser Form gilt per Definition

Re(z)=x
Im(z)=y

wobei Re(z) die Abkürzung für den Realteil und Im(z) die für den Imaginärteil sind (Beachte: beides sind reelle Zahlen!).

Der Betrag |z| ist ebenfalls immer eine reelle Zahl, also

[mm] |z|=\sqrt{x^2+y^2} [/mm]

Wenn wir diesen Betrag als komplexe Zahl schreiben wollen, könnten wir

[mm] u=\sqrt{x^2+y^2} [/mm]

setzen und damit schreiben:

[mm] |z|=u+i*0=\sqrt{x^2+y^2}+i*0 [/mm]

Also ist

[mm]Re(|z|)=u=\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
[mm]Im(|z|)=0[/mm]

Oder einfacher: der Imaginärteil einer reellen Zahl ist stets gleich Null.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Complexe Zahlen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:55 Mi 10/01/2018
Author: fred97

Zu c):

Da $| {  [mm] \wurzel{2} [/mm]  +3i |  [mm] }^{2} \in \IR [/mm] $,  ist $im(| {  [mm] \wurzel{2} [/mm]  +3i |  [mm] }^{2})=0$ [/mm]


[mm] $(\wurzel{2} [/mm]  +3i [mm] )^2=2+6 \wurzel{2}i [/mm] -9, $ also: [mm] $im(\wurzel{2} [/mm]  +3i [mm] )^2=6 \wurzel{2}$. [/mm]


Bezug
                
Bezug
Complexe Zahlen: Kleiner Tippfehler
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:59 Mi 10/01/2018
Author: Diophant

Hallo Fred,

bei der zweiten Aufgabe fehlt ein 'Im' vor der Klammer.

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Complexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:06 Mi 10/01/2018
Author: fred97


> Hallo Fred,
>  
> bei der zweiten Aufgabe fehlt ein 'Im' vor der Klammer.

Ups.. Danke, werde es korrigieren

>  
> Gruß, Diophant


Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 11m 1. rubi
SVektoren/Vektor durch Zahl
Status vor 3h 46m 2. Al-Chwarizmi
DiffGlGew/Erstes Integral
Status vor 4h 55m 9. Diophant
UStoc/Stochastische Unabhängigkeit
Status vor 7h 10m 4. Al-Chwarizmi
UAlgGRK/Menge in der Potenz
Status vor 15h 42m 7. Diophant
STrigoFktn/cos2(x)=sin2(2x)
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]