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DGL: nicht linear
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:22 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

Aufgabe
y´=7y²x³

Moin Freunde,

mit linearen DGL´s komme ich soweit zurrecht, jedoch ist diese nicht linear und ich komme nicht so recht weiter. Habe mir schon Bernoullische DGL angeschaut aber konnte das nicht 100% in Verbindung bringen. Kann mir einer helfen?

Danke

        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:04 Di 26/04/2016
Author: fred97


> y´=7y²x³
>  Moin Freunde,
>  
> mit linearen DGL´s komme ich soweit zurrecht, jedoch ist
> diese nicht linear und ich komme nicht so recht weiter.
> Habe mir schon Bernoullische DGL angeschaut aber konnte das
> nicht 100% in Verbindung bringen. Kann mir einer helfen?

Tipp: Trennung der Variablen

FRED

>  
> Danke


Bezug
                
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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:23 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

Danke für den Tipp, aber meine DGL ist dann immer noch nicht linear :/ Habs jetzt mit Bernoulli probiert und komme dabei auf [mm] y_{allg}(x)=-\frac{7}{4}\cdot x^{4}+c_2 [/mm]

kann das stimmen?

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DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:29 Di 26/04/2016
Author: fred97


> Danke für den Tipp, aber meine DGL ist dann immer noch
> nicht linear


Sie wird auch nie linear werden ....


>  :/ Habs jetzt mit Bernoulli probiert und komme
> dabei auf [mm]y_{allg}(x)=-\frac{7}{4}\cdot x^{4}+c_2[/mm]
>  
> kann das stimmen?

Nein. Das sieht man doch sofort. Wenn Dein y Lösung von

    [mm] $y'=7y^2x^3$ [/mm]

wäre, so wäre y' ein Polynom vom Grad 3 und(!) vom Grad 11.

Fragen:

Wie hast Du denn gerechnet ?

Warum hast Du meinen Tipp nicht beherzigt ?

FRED

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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:56 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

Also ich habe es mit der Bernoulli-Gleichung für DGL´s gemacht: [mm] y´=f(x)y+g(x)y^{\alpha \not= 1} [/mm] durch die Subsitution von Bernoulli ergibt sich dann [mm] y=u^{\frac{1}{1-\alpha}} [/mm] Damit kommt man dann auf [mm] u´=(1-\alpha)f(x)u+(1-\alpha)g(x). [/mm]

Das habe ich alles so von Wikipedia übernommen und nun kommen meine eigenen überlegungen:

Da [mm] u´=(1-\alpha)f(x)u+(1-\alpha)g(x) [/mm] und unsere Funktion y´= [mm] 7y^{2}x^{3}lautet [/mm] habe ich [mm] 7x^{3} [/mm] als g(x) und f(x)=0 angenommen, wodurch sich [mm] U´=-7x^{3} [/mm] ergibt. Dann homogene + spezielle Lösung und ich komme auf das Ergebnis was wohl falsch ist :D

Warum ich deinen Tipp nicht befolgt habe? Naja ich weiß nicht recht wie es weiter gehen soll, da ich dann da stehen hätte: [mm] \frac{\frac{dy}{dx}}{y^{2}}=x^{3} [/mm] und diese Art von DGL ist mir völlig unklar.

Bezug
                                        
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DGL: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:57 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

[mm] u=(1-\alpha)f(x)u+(1-\alpha)g(x) [/mm] soll die ableitung von u sein.

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DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:03 Di 26/04/2016
Author: fred97


> Also ich habe es mit der Bernoulli-Gleichung für DGL´s
> gemacht: [mm]y´=f(x)y+g(x)y^{\alpha \not= 1}[/mm] durch die
> Subsitution von Bernoulli ergibt sich dann
> [mm]y=u^{\frac{1}{1-\alpha}}[/mm] Damit kommt man dann auf
> [mm]u´=(1-\alpha)f(x)u+(1-\alpha)g(x).[/mm]
>  
> Das habe ich alles so von Wikipedia übernommen und nun
> kommen meine eigenen überlegungen:
>  
> Da [mm]u´=(1-\alpha)f(x)u+(1-\alpha)g(x)[/mm] und unsere Funktion
> y´= [mm]7y^{2}x^{3}lautet[/mm] habe ich [mm]7x^{3}[/mm] als g(x) und f(x)=0
> angenommen, wodurch sich [mm]U´=-7x^{3}[/mm] ergibt.


Die Ableitungsstriche sieht man nicht !

   [mm] u'=-7x^3 [/mm] ist richtig.

Nun ist aber y=1/u.

FRED


> Dann homogene
> + spezielle Lösung und ich komme auf das Ergebnis was wohl
> falsch ist :D
>
> Warum ich deinen Tipp nicht befolgt habe? Naja ich weiß
> nicht recht wie es weiter gehen soll, da ich dann da stehen
> hätte: [mm]\frac{\frac{dy}{dx}}{y^{2}}=x^{3}[/mm] und diese Art von
> DGL ist mir völlig unklar.


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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:23 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

wenn y=1/u ist und mein [mm] u'=-7x^{3} [/mm] ist, dann kann man nicht einfach u' integrieren und in y=1/u einsetzen oder?

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DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:36 Di 26/04/2016
Author: fred97


> wenn y=1/u ist und mein [mm]u'=-7x^{3}[/mm] ist, dann kann man nicht
> einfach u' integrieren und in y=1/u einsetzen oder?

Doch das kannst Du und sollst Du.

FRED


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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:43 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

also ist [mm] y_{allg}=\frac{1}{c-\frac{7}{4}\cdot x^{4}} [/mm] meine Lösung?

Bezug
                                                                        
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DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:45 Di 26/04/2016
Author: fred97


> also ist [mm]y_{allg}=\frac{1}{c-\frac{7}{4}\cdot x^{4}}[/mm] meine
> Lösung?

Ja, das ist die allgemeine Lösung der DGL. Aber Dir gehört sie nicht ....

FRED


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DGL: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:48 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

Okay, sehe ich ein, dass sie nicht mir gehört.

Vielen Dank für die Hilfe =)

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DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:09 Di 26/04/2016
Author: Steffi21

Hallo, was die Trennung der Variablen betrifft, hast Du doch den korrekten Ansatz

[mm] y'=7*y^2*x^3 [/mm]

[mm] \bruch{dy}{dx}=7*y^2*x^3 [/mm]

[mm] \bruch{dy}{y^2}=7*x^3*dx [/mm]

Integriere auf beiden Seiten

Steffi


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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:29 Di 26/04/2016
Author: Skyrula

da landet man dann bei [mm] 1/y=7/4x^4 [/mm] aber ich meine mich erinnern zu können, das dieser weg nicht erlaubt ist bei DGL's welche nicht linear sind. Wie würdest du denn jetzt weiter machen!?

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Bezug
DGL: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:33 Di 26/04/2016
Author: chrisno

Es gilt hier: der Erfolg rechtfertigt den Versuch. Rechne, bis Du einen Kandidaten für die Lösung hast und dann probierst Du, ob es eine Lösung ist.

Bezug
                                                        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:38 Di 26/04/2016
Author: fred97


> da landet man dann bei [mm]1/y=7/4x^4[/mm]


So ist es


>  aber ich meine mich
> erinnern zu können, das dieser weg nicht erlaubt ist bei
> DGL's welche nicht linear sind.


Das ist doch Unsinn.

FRED


> Wie würdest du denn jetzt
> weiter machen!?


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