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DGL: Sinkgeschwindigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mi 27.07.2016
Autor: sonic5000

Aufgabe
Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung [mm] m*\br{dv}{dt}+kv=mg [/mm] wird die Sinkgeschwindigkeit v eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben (k: Reibungsfaktor; g: Erdbeschleunigung).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen.

Hallo,

zuerst Trennung der Variablen:

[mm] m*\br{dv}{dt}+kv=mg [/mm]

[mm] \br{dv}{g-\br{kv}{m}}=dt [/mm]

Dann beide Seiten unbestimmt integrieren:

[mm] \integral_{}^{}\br{dv}{g-\br {kv}{m}}dv=\integral_{}^{}dt [/mm]

Diesen Ausdruck habe ich mit Wolfram berechnen lasse und komme auf:

[mm] -\br {m*ln(gm-kv)}{k}+c_1=t+c_2 [/mm]

Diesen Ausdruck wiederum habe ich mir Wolfram nach v aufgelöst und komme dann auf:

[mm] v(t)=\br{e^{-\br{k*t}{m}}*(g*m*e^{\br{k*t}{m}}-c^{\br{k}{m}})}{k} [/mm]

In den Lösungen ist aber folgendes angegeben:

[mm] v(t)=c*e^{-\br{kt}{m}}+\br{m*g}{k} [/mm]

Sieht jemand den Fehler?

        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Mi 27.07.2016
Autor: Fulla


> Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung
> [mm]m*\br{dv}{dt}+kv=mg[/mm] wird die Sinkgeschwindigkeit v eines
> Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben (k:
> Reibungsfaktor; g: Erdbeschleunigung).
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Trennung der
> Variablen.
> Hallo,

>

> zuerst Trennung der Variablen:

>

> [mm]m*\br{dv}{dt}+kv=mg[/mm]

>

> [mm]\br{dv}{g-\br{kv}{m}}=dt[/mm]

>

> Dann beide Seiten unbestimmt integrieren:

>

> [mm]\integral_{}^{}\br{dv}{g-\br {kv}{m}}dv=\integral_{}^{}dt[/mm]

>

> Diesen Ausdruck habe ich mit Wolfram berechnen lasse und
> komme auf:

>

> [mm]-\br {m*ln(gm-kv)}{k}+c_1=t+c_2[/mm]

>

> Diesen Ausdruck wiederum habe ich mir Wolfram nach v
> aufgelöst und komme dann auf:

>

> [mm]v(t)=\br{e^{-\br{k*t}{m}}*(g*m*e^{\br{k*t}{m}}-c^{\br{k}{m}})}{k}[/mm]

>

> In den Lösungen ist aber folgendes angegeben:

>

> [mm]v(t)=c*e^{-\br{kt}{m}}+\br{m*g}{k}[/mm]

>

> Sieht jemand den Fehler?


Hallo sonic5000,

da ist kein Fehler. Die beiden Ausdrücke enthalten nur unterschiedliche Konstanten c.
Den Ausdruck von Wolframalpha kannst du durch Ausmultiplizieren umformen zu
[mm]v(t)=\frac{gm}{k}\underbrace{-\frac{c^\frac{k}{m}}{k}}_{:=C}\cdot e^{-\frac{kt}{m}}=C\cdot e^{-\frac{kt}{m}}+\frac{gm}{k}[/mm]

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
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