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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL + D=0
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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 14.09.2005
Autor: detlef

hallo,

wie gehe ich denn vor, wenn die Determinante Null ist, wie bekomme ich dann zwei unabhängige lösungen?
z.b. bei y''-8y'+16y=0
Ansatz: e^(k*x)
dann kommt als lösung k = 4 heraus, also y1,2=e^(4x) und wie gehts dann weiter?

detlef

        
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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mi 14.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Detlef!

In diesem Fall sind [mm] $f_1(x)=e^{4x}$ [/mm] und [mm] $f_2(x)=xe^{4x}$ [/mm] zwei linear unabhängige Lösungen.

Probiere es doch mal aus! :-)

Liebe Grüße
Stefan

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 14.09.2005
Autor: detlef

ja es stimmt, aber wie kommst du auf die lösungen?

detlef

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DGL + D=0: Lösung ein Ast tiefer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Do 15.09.2005
Autor: mazi

Hallo Detlef!

Die Lösung der DGL und wie man drauf kommt steht einen Ast tiefer.
Bin neu hier im Forum, und hab mich leider noch nicht ausgekannt.

Maria

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DGL + D=0: genauere Erläuterung zu DGL
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Do 15.09.2005
Autor: mazi

Hallo Detlef!

Du bekommst zwei linear unabhängige Lösungen, wenn du die Regeln der DGL dieses Typs beachtest:

Wenn du eine mehrfache Lösung hast, in deinem Fall 4, musst du folgendermaßen vorgehen:

die erste Lösung ist die schon von dir genannte:
e^(4*x)

die zweite Lösung geht folgendermaßen:
x* e^(4*x)

wenn du eine dreifache Nullstelle hättest, wäre die dritte Lösung:
[mm] x^{2} [/mm] * e^(4*x)

und so weiter....

Maria

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Do 15.09.2005
Autor: detlef

oaky, das ist jetzt auch klar!
gibt es auch lösungen bei DGL's wenn D<0 ist?

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Do 15.09.2005
Autor: mazi

Hallo Detlef!

Natürlich gibt es auch Lösungen, wenn D<0 ist, nur wirds da ein kleines bißchen komplizierter.

Wenn D<0 hast du zwei verschiedene Lösungen, die du als komplexe Zahlen (also mit i vor der Wurzel) schreibst: die Lösungen sind dann also a + i*b und a - i*b

Deine erste Lösung ist dann   [mm] e^{a*x} [/mm] * cos(b*x)
deine zweite Lösung ist  [mm] e^{a*x} [/mm] * sin(b*x).

(Diese beiden Lösungen entsprechen dann a + i*b und a - i*b, du hast also bei zwei komplexen Lösungen von D zwei Lösungen.)

Wenn du noch weitere Fragen hast, oder dir meine Lösung zu konfus war, frag einfach weiter!

Maria

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Do 15.09.2005
Autor: detlef

wo bleibt denn da i bei den lösungen?

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Do 15.09.2005
Autor: mazi

Das i fällt weg, aber dafür bekommst du ja cos und sin.

Das hat was mit den verschiedenen Darstellungsformen komplexer Zahlen zu tun, aber da ich neusprachlichen Zweig hatte und in der Uni dieses Thema leider als selbstverständlich behandelt wurde, kann ich dir die Hintergründe leider nicht erklären.

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DGL + D=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Do 15.09.2005
Autor: detlef

okay dnake, vielleicht kann sich da jemand anderes noch zu äußern?!

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 15.09.2005
Autor: banachella

Hallo!

Wenn deine DGL reelle Koeffizienten hat, so treten komplexe Nullstellen stets komplex konjugiert auf.
Das bedeutet, dass wenn $a+ib$ Nullstelle ist, auch $a-ib$ eine Nullstelle ist.
Deine Lösungen sind dann [mm] $e^{(a+ib)t}$ [/mm] und [mm] $e^{(a-ib)t}$. [/mm] Insbesondere ist aber auch jede Linearkombination Lösung: [mm] $\bruch [/mm] 12 [mm] e^{(a+ib)t}+\bruch [/mm] 12 [mm] e^{(a-ib)t}=e^a*\bruch 12\left(e^{ib}+e^{-ib}\right)=e^a*\cos(b)$. [/mm]
Ebenso gilt:  [mm] $\bruch [/mm] 1{2i} [mm] e^{(a+ib)t}-\bruch [/mm] 1{2i} [mm] e^{(a-ib)t}=e^a*\bruch 1{2i}\left(e^{ib}-e^{-ib}\right)=e^a*\sin(b)$. [/mm]

Das sind jetzt wieder zwei linear unabhängige Lösungen.

Beantwortet das deine Frage?

Gruß, banachella

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Do 15.09.2005
Autor: detlef

hmm wie kommt man denn von dem i zu sin und cos?

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Do 15.09.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Es gilt:

[mm] $e^{ib} [/mm] = [mm] \cos(b) [/mm] + [mm] i\sin(b)$, [/mm]

Viele Grüße
Stefan

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 15.09.2005
Autor: detlef

[mm] e^a\cdot{}\bruch 1{2i}\left(e^{ib}-e^{-ib}\right)=e^a\cdot{}\sin(b) [/mm] $

diese zeile ist mir nicht klar, wie es nach dem bruch zu sinus kommt...

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Fr 16.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Detlef!

> [mm]e^a\cdot{}\bruch 1{2i}\left(e^{ib}-e^{-ib}\right)=e^a\cdot{}\sin(b)[/mm]
> $
>  
> diese zeile ist mir nicht klar, wie es nach dem bruch zu
> sinus kommt...

Das ist mir schon klar, daher habe ich dir ja die Formel genannt.

Also, noch einmal:

[mm] $e^a \cdot \frac{1}{2i} \left( e^{ib} - e^{-ib} \right)$ [/mm]

$= [mm] e^a \cdot \frac{1}{2i} \left( \cos(b) + i\sinb(b) - (\cos(b) + i\sin(-b) \right)$ [/mm]

[mm] $=e^a \cdot \frac{1}{2i} \left( \cos(b) + i\sinb(b) - (\cos(b) - i\sin(b) \right)$ [/mm]

[mm] $=e^a \cdot \frac{1}{2i} \left( \cos(b) + i\sinb(b) - \cos(b) + i\sin(b) \right)$ [/mm]

[mm] $=e^a \cdot \frac{1}{2i} \cdot [/mm] 2i [mm] \sin(b)$ [/mm]

[mm] $=e^a \cdot \sin(b)$. [/mm]

Viele Grüße
Stefan


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DGL + D=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Fr 16.09.2005
Autor: detlef

danke,
aber wo kommen eigentlich die 1/2i her?

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Fr 16.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Detlef!

Banachella hat hier aus den zwei komplexen Lösungen zwei reelle gemacht, und zwar mit dem folgenden "Trick":

[mm] $\frac{z + \bar{z}}{2} [/mm] = Re(z)$

[mm] $\frac{z-\bar{z}}{2i} [/mm] = Im(z)$.

Viele Grüße
Stefan

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DGL + D=0: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 So 18.09.2005
Autor: detlef

wieso ist ds so definiert? (z+z')/2 = re(z)
weshalb?

detlef

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DGL + D=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 So 18.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Detlef!

Es ist nicht so definiert, es ergibt sich:

[mm] $\frac{1}{2} \cdot [/mm] (z + [mm] \bar{z}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] (Re(z) + i Im(z) + Re(z) - i Im(z)) = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 2Re(z) = Re(z)$.

So, jetzt sollte es aber doch klar sein.

Viele Grüße
Stefan  

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DGL + D=0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 So 18.09.2005
Autor: detlef

super, vielen dank!

detlef

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