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DGL - Fundamentalsystem: Ist das so richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 So 04.12.2005
Autor: mathefreundin

Hallo ihr Lieben,

Ich sitze gerade über meinen Übungsaufgaben, bin mir aber nciht sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin...

Es geht um folgende Aufgabe:

Man bestimme ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL
y'' + [mm] \bruch{a}{x} [/mm] y' + [mm] \bruch{b}{ x^{2}} [/mm] y = 0 ,
x > 0, a,b [mm] \in \IR [/mm]


ich habe nun folgende Lösung:

mit   [mm] \bruch{a}{x} [/mm] = z   und  [mm] \bruch{b}{ x^{2}} [/mm] = p
bekomme ich die charakteristische Gleichung  y'' + zy' + py = 0
Diese hat die Nullstellen [mm] \lambda_{1,2} [/mm] =  - [mm] \bruch{z}{4} \pm \wurzel{\bruch{z^{2}}{16} - \bruch{p}{2}} [/mm]

Damit würde das Ergebnis doch  [mm] e^{\lambda_{1}} [/mm] und [mm] e^{\lambda_{2}} [/mm] heißen, oder bin ich da vollständig auf dem Holzweg???

Danke schon mal allen, die sich dies durchgelesen haben und mir evtl auch noch ein bißchen weiterhelfen können...

Schönes Wochenende,

Sarah

        
Bezug
DGL - Fundamentalsystem: Eulersche DGL
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 So 04.12.2005
Autor: MathePower

Hallo mathefreundin,


> Hallo ihr Lieben,
>
> Ich sitze gerade über meinen Übungsaufgaben, bin mir aber
> nciht sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg
> bin...
>  
> Es geht um folgende Aufgabe:
>  
> Man bestimme ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL
> y'' + [mm]\bruch{a}{x}[/mm] y' + [mm]\bruch{b}{ x^{2}}[/mm] y = 0 ,
> x > 0, a,b [mm]\in \IR[/mm]
>  
>
> ich habe nun folgende Lösung:
>  
> mit   [mm]\bruch{a}{x}[/mm] = z   und  [mm]\bruch{b}{ x^{2}}[/mm] = p
>  bekomme ich die charakteristische Gleichung  y'' + zy' +
> py = 0
>  Diese hat die Nullstellen [mm]\lambda_{1,2}[/mm] =  - [mm]\bruch{z}{4} \pm \wurzel{\bruch{z^{2}}{16} - \bruch{p}{2}}[/mm]
>  
> Damit würde das Ergebnis doch  [mm]e^{\lambda_{1}}[/mm] und
> [mm]e^{\lambda_{2}}[/mm] heißen, oder bin ich da vollständig auf dem
> Holzweg???

da bist Du leider auf dem Holzweg.

Multipliziere zunächst die DGL mit [mm]x^2[/mm] durch. Somit erhalten wir eine sogenannte Eulesche DGL, welche durch die Substitution [mm]y\left( x \right)\; = \;u\;\left( {\ln \;x} \right)[/mm] in eine lineare DGL zweiter Ordnung übergeht.

Von dieser kannst Du nun die Lösungen ermitteln.

Gruß
MathePower


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