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DGL 1. Ord: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 04.08.2015
Autor: Pingumane

Aufgabe
Fließt Wasser aus einem zylinderförmigen Becken durch eine kreisförmige Öffnung ab, so gilt für die Höhe h(t) des Wasserspiegels

h' = [mm] -\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2gh} [/mm]    ,    h(0) = [mm] h_{0}, [/mm]

wobei [mm] A_{O} [/mm] die Querschnittsfläche der Öffnung, [mm] A_{G} [/mm] die Querschnittsfläche des Gefäßes und g die Gravitationskonstante ist.

Wie lange dauert es, bis das Becken vollkommen entleert ist?

Hallo,

ich fange mit dem Thema DGL erst an und weiß gerade nicht weiter.

Meine bisherigen Überlegungen:

Der Einfachheit halber ist [mm] \gamma=\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2g} [/mm]

Damit ergibt sich:
h' = [mm] -\gamma\wurzel{h} [/mm]

Durch Trennung der Variablen erhalte ich:
[mm] 2\wurzel{h} [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] t
h = [mm] \bruch{1}{4}(-\gamma t)^{2} [/mm]

Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter verfahren soll. Soll ich h in die Ausgangsgleichung einsetzen?
Dann erhalte ich:

h' = [mm] \bruch{\gamma^{2}t}{2} [/mm]


Alle weiteren Versuche, das irgendwie umzuformen und was nicht alles, scheiterten. Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte.


Freundliche Grüße,
Pingumane

        
Bezug
DGL 1. Ord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Di 04.08.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Fließt Wasser aus einem zylinderförmigen Becken durch
> eine kreisförmige Öffnung ab, so gilt für die Höhe h(t)
> des Wasserspiegels
>  
> h' = [mm]-\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2gh}[/mm]    ,    h(0) =
> [mm]h_{0},[/mm]
>  
> wobei [mm]A_{O}[/mm] die Querschnittsfläche der Öffnung, [mm]A_{G}[/mm] die
> Querschnittsfläche des Gefäßes und g die
> Gravitationskonstante ist.
>  
> Wie lange dauert es, bis das Becken vollkommen entleert
> ist?
>  Hallo,
>  
> ich fange mit dem Thema DGL erst an und weiß gerade nicht
> weiter.
>  
> Meine bisherigen Überlegungen:
>  
> Der Einfachheit halber ist
> [mm]\gamma=\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2g}[/mm]
>  
> Damit ergibt sich:
>  h' = [mm]-\gamma\wurzel{h}[/mm]
>  
> Durch Trennung der Variablen erhalte ich:
>  [mm]2\wurzel{h}[/mm] = [mm]-\gamma[/mm] t

[notok]
Aus [mm] $\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}=-\gamma\sqrt [/mm] h$ folgt zunächst [mm] $2\sqrt h=-\gamma t+c_0$ [/mm] mit einer noch zu bestimmenden Integrationskonstante [mm] $c_0$. [/mm]

>  h = [mm]\bruch{1}{4}(-\gamma t)^{2}[/mm]

Deshalb ist diese Lösung falsch.

>  
> Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter
> verfahren soll. Soll ich h in die Ausgangsgleichung
> einsetzen?

Nein, was soll das bringen?

>  Dann erhalte ich:
>  
> h' = [mm]\bruch{\gamma^{2}t}{2}[/mm]
>  
>
> Alle weiteren Versuche, das irgendwie umzuformen und was
> nicht alles, scheiterten. Ich wäre sehr froh, wenn mir
> jemand helfen könnte.

Bestimme erstmal die richtige Lösung und interpretiere sie dann, der Rest geht von alleine ;-)

>  
>
> Freundliche Grüße,
>  Pingumane

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Mi 05.08.2015
Autor: Pingumane

Mein alter Feind, das + c ... Vielen Dank für den Hinweis :)

Der Rest ging dann tatsächlich recht gut. Zur Vervollständigung:

h' = [mm] -\gamma\wurzel{h} [/mm]

[mm] 2\wurzel{h} [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] t + c      (1)

Anfangsbedingung h(0) = [mm] h_{0} [/mm] einsetzen:

[mm] 2\wurzel{h_{0}} [/mm] = c            (2)

(1) nach h umformen:

h = [mm] \bruch{1}{4}(-\gamma [/mm] t + [mm] c)^{2} [/mm]

Hier nun (2) eingesetzt:

h = [mm] \bruch{1}{4}(2\wurzel{h_{0}}-\gamma t)^{2} [/mm]


Danke nochmals!

Bezug
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