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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1. Ordnung / Substitution
DGL 1. Ordnung / Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1. Ordnung / Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 04.11.2017
Autor: losPollos

Aufgabe
Lösung der gewöhnlichen DGL 1. Ordnung:
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = -A (y(x)+ B)

Hallo,

ich will folgende DGL lösen:
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = -A (y(x)+ B)

Ich subistituiere:

u = -A (y(x)+ B)  
[mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = -A [mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm]
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm]  = [mm] -\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm]
[mm] -\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm]  = u
[mm] \frac{1}{u}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm]  = -A
[mm] \int \frac{\partial u}{ u } [/mm]  = -A  [mm] \int \partial [/mm] x  
[mm] \ln [/mm] |u| - [mm] \ln [/mm] |C|  = -A x  
[mm] \frac{u}{C} [/mm] = [mm] e^{-Ax} [/mm]  
u = C [mm] e^{-Ax} [/mm]

Rücksubstitution liefert:
-Ay +AB = C [mm] e^{-Ax} [/mm] --> y(x)= -1/A C [mm] e^{-Ax} [/mm] +B

Die Lösung sollte jedoch sein:
y(x)= C [mm] e^{-Ax} [/mm] + B

Wo liegt mein Fehler?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Sa 04.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

falsch gemacht hast du fast nichts. Das Ergebnis unterscheidet sich ja nur im multiplikativen Faktor vor der Exponentialfunktion von der Musterlösung* (d.h. man hat nach wie vor für jede Lösung einen Wert für die Integrationskonstante, nur eben einen anderen).

Mir stellt sich die Frage, warum du die DGL so umständlich angehst: man benötigt hier keine Substitution, sondern nur die Trennung der Variablen (und dann sieht auch die allgemeine Lösung aus wie vorgegeben).

* Wie FRED schon angemerkt hat, haben wir beide einen (Vorzeichen-) Fehler gemacht und der steckt offensichtlich auch in der Musterlösung.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Sa 04.11.2017
Autor: losPollos

Ja stimmt, Du hast recht. Vielen Dank :)

Bezug
                        
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 So 05.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

beachte bitte auch noch die andere Antwort von Fred!

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Sa 04.11.2017
Autor: fred97


> Lösung der gewöhnlichen DGL 1. Ordnung:
>  [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm] = -A (y(x)+ B)
>  Hallo,
>  
> ich will folgende DGL lösen:
>  [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm] = -A (y(x)+ B)
>
> Ich subistituiere:
>  
> u = -A (y(x)+ B)  
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}[/mm] = -A [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm]
> [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm]  = [mm]-\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm]
> [mm]-\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm]  = u
> [mm]\frac{1}{u}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm]  = -A
> [mm]\int \frac{\partial u}{ u }[/mm]  = -A  [mm]\int \partial[/mm] x  
> [mm]\ln[/mm] |u| - [mm]\ln[/mm] |C|  = -A x  
> [mm]\frac{u}{C}[/mm] = [mm]e^{-Ax}[/mm]  
> u = C [mm]e^{-Ax}[/mm]
>
> Rücksubstitution liefert:
>  -Ay +AB = C [mm]e^{-Ax}[/mm] --> y(x)= -1/A C [mm]e^{-Ax}[/mm] +B

>  
> Die Lösung sollte jedoch sein:
>  y(x)= C [mm]e^{-Ax}[/mm] + B
>  
> Wo liegt mein Fehler?


Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder nicht, auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.

Ist C=0, so soll also die konstante Funktion y(x)=B eine Lösung  der Differentialgleichung sein. Das ist aber nicht  der Fall (jedenfalls, wenn [mm] B\ne [/mm] 0 ist).

Eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist y(x)=-B.

Damit lautet die allgemeine Lösung so:

y(x)=Cexp(-Ax)-B


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 So 05.11.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

> Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder nicht,
> auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.

>

Ja, da ist ein Vorzeichenfehler in der Rechnung des Themenstarters, den ich aus Versehen übernommen hatte.


Grüße & schönen Sonntag, Diophant

Bezug
                        
Bezug
DGL 1. Ordnung / Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 Mo 06.11.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder
> nicht,
>  > auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.

>  >
>  
> Ja, da ist ein Vorzeichenfehler in der Rechnung des
> Themenstarters, den ich aus Versehen übernommen hatte.
>  
>
> Grüße & schönen Sonntag, Diophant


Hallo Diophant,

es ist inzwischen Montag. Daher wünsche ich Dir, ein schönes Wochenende gehabt zu haben.



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