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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Jacobi-Matrix und EW
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DGL Jacobi-Matrix und EW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Di 19.01.2016
Autor: Ladon

Hallo zusammen,

der Satz von Grobman und Hartman sagt im wesentlichen aus, dass ich mir statt des DGLS $x'=F (x) $ mit entsprechendem [mm] $F:\IR^n\to \IR^n [/mm] $ um [mm] $x^\ast [/mm] $ auch [mm] $y'=J_F (x^\ast)y [/mm] $ ansehen kann, wobei [mm] $x^\ast$ [/mm] stationärer Punkt sei.
Über die EW von [mm] $J_F (x^\ast) [/mm] $ kann ich Aussagen über den Charakter des stationären Punkts treffen (Stabilität, Knoten/Strudel...). Wir beschränken uns auf den einfachen Fall $n=2$. Z.B. in []dieser PDF wird auf S. 16 beschrieben, welche Einteilung aufgrund der EW vorgenommen werden können.
Jetzt habe ich zum ersten mal einen Fall mit EW [mm] $\lambda_1>0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=0$. [/mm] Was für Aussagen kann ich über den zugehörigen stationären Punkt treffen?
Ich schätze ich muss mir dazu das zugehörige Fundamentalsystem ansehen, aus dem sich die Lösungen ergeben.

MfG
Ladon

        
Bezug
DGL Jacobi-Matrix und EW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Di 19.01.2016
Autor: Hias

Hallo,
in diesem Fall kannst du den Satz von Grobman Hartman nicht verwenden. Voraussetzung für den Satz sind, dass es sich bei dem Gleichgewichtspunkt, oder stadtionären Punkt, um einen hyperbolischen Gleichgewichtspunkt handelt, d.h. der Realteil der Eigenwerte muss ungleich 0 sein.
In gewissen Fällen kannst du Aussagen über die Stabilität treffen z.B. wenn [mm] $\lambda_1<0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=0$ [/mm] dann ist der Gleichgewichtspunkt auf jeden Fall instabil. Um die Stabilität deines Systems zu bestimmen, müsstest du die Zentrumsmannigfaltigkeit mittels eines Graphen bestimmen und die Stabilität auf der Zentrumsmannigfaltigkeit untersuchen.
Sollten dir Zentrumsmannigfaltikgeiten nichts sagen, hast du es wohl mit einem periodischer Orbit zu tun, dann hilft dir z.B. der Satz von Poincaré-Bendixon weiter.
MfG,
Hias


Bezug
                
Bezug
DGL Jacobi-Matrix und EW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 Mi 20.01.2016
Autor: Ladon

An [mm] Re(\lambda_i)\neq0 [/mm] habe ich, im Eifer des Gefechts, gar nicht mehr gedacht. ;-)
Danke für seine Hinweise!

LG
Ladon

Bezug
                        
Bezug
DGL Jacobi-Matrix und EW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Mi 20.01.2016
Autor: Hias

Mir ist auch ein Fehler unterlaufen, wenn [mm] $\lambda_i [/mm] >0$ ist für ein i, dann ist die Lösung instabil.
Mfg Hias.

Bezug
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