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DGL System lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mo 12.06.2017
Autor: lapeiluw

Aufgabe 1
Für [mm] t\in\IR [/mm] seien [mm] A\left( t \right) = \begin{pmatrix} 1 & 1-t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] b\left( t \right) = \begin{pmatrix} t \\ e^t \end{pmatrix} [/mm] gegeben.

a) Bestimmen Sie eine Lösungsbasis für [mm] y'=A\left( t \right)y. [/mm] Differentialgleichungen für die Koordinatenfunktionen [mm] y_1 , y_2 [/mm] untersuchen!)




Aufgabe 2
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem [mm] y' = A(t)y + b(t) , y(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] mittels Variation der Konstanten




Hallo liebe Mathe-Gemeinde,

also ich sitze nun bereits ein wenig an der Aufgabe und habe zuerst die Koordinatenfunktionen aufgestellt, die dann lauten:

[mm] y'_1 = y_1 + (1-t) y_2 und y'_2 = 0. [/mm]

Daraus kann ja geschlussfolgert werden, dass [mm] y_2 = r, r\in\IR [/mm]

Ich habe diese Lösung nun in die erste Diff-Gleichung eingesetzt und erhalte:

[mm] y'_1 = y_1 + (1-t)r [/mm]

Und jetz stoße ich an Probleme. Wir hatten einmal, dass DGLs von der Form:

[mm] y' + g(x)y = h(x) [/mm] getrennt werden können und man dann zuerst das homogene Problem [mm] y'=y [/mm] löst.

Ich erhalte für meinen Fall:

[mm] g(t)= -1 , \Rightarrow G(t)= -t ; h(t)= (1-t)r [/mm]

Löse nun: [mm] y'=y, y_h(t) = c*e^t, t\in\IR [/mm]

und nun komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich den Rest auflösen soll.... hm, was ich nun in der Vorlesung habe ist mit Imaginär- und Realteil und irgendwie kapier ich das null, und verstehe auch nicht, ob mir das hier helfen sollte.

Ich freu mich über jede Form von Hilfe.


        
Bezug
DGL System lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mo 12.06.2017
Autor: HJKweseleit


> Für [mm]t\in\IR[/mm] seien [mm]A\left( t \right) = \begin{pmatrix} 1 & 1-t \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]b\left( t \right) = \begin{pmatrix} t \\ e^t \end{pmatrix}[/mm]
> gegeben.
>  
> a) Bestimmen Sie eine Lösungsbasis für [mm]y'=A\left( t \right)y.[/mm]
> Differentialgleichungen für die Koordinatenfunktionen [mm]y_1 , y_2[/mm]
> untersuchen!)
>  
>
>
> b) Lösen Sie das Anfangswertproblem [mm]y' = A(t)y + b(t) , y(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> mittels Variation der Konstanten
>  
>
>
> Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
>  
> also ich sitze nun bereits ein wenig an der Aufgabe und
> habe zuerst die Koordinatenfunktionen aufgestellt, die dann
> lauten:
>  
> [mm]y'_1 = y_1 + (1-t) y_2 und y'_2 = 0.[/mm]
>  
> Daraus kann ja geschlussfolgert werden, dass [mm]y_2 = r, r\in\IR[/mm]

[ok]

>  
> Ich habe diese Lösung nun in die erste Diff-Gleichung
> eingesetzt und erhalte:
>  
> [mm]y'_1 = y_1 + (1-t)r[/mm]

[ok]

>
> Und jetz stoße ich an Probleme. Wir hatten einmal, dass
> DGLs von der Form:
>  
> [mm]y' + g(x)y = h(x)[/mm] getrennt werden können und man dann
> zuerst das homogene Problem [mm]y'=y[/mm] löst.
>  
> Ich erhalte für meinen Fall:
>  
> [mm]g(t)= -1 , \Rightarrow G(t)= -t ; h(t)= (1-t)r[/mm]
>  
> Löse nun: [mm]y'=y, y_h(t) = c*e^t, t\in\IR[/mm]
>  

[ok]

> und nun komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich
> den Rest auflösen soll.... hm, was ich nun in der
> Vorlesung habe ist mit Imaginär- und Realteil und
> irgendwie kapier ich das null, und verstehe auch nicht, ob
> mir das hier helfen sollte.
>  
> Ich freu mich über jede Form von Hilfe.
>  


Ich schreibe die zu lösende DGL nochmal etwas einfacher auf:

y'-y=(1-t) r

Hierzu hast du bereits alle Lösungen der homogenen DGL gefunden, nämlich [mm] y=c*e^t. [/mm]

Nun brauchst du nur noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.

Rechts steht eine lineare Fkt. von t. Also muss der linke Teil auch eine lineare Fkt. sein. Wenn nun y selber eine lineare Fkt. wäre, wäre y' nur eine konstante Zahl und damit bliebe die linke Seite eine lineare Fkt.. Daher der Ansatz:

y=at+b

Eingesetzt: y'-y=a-at-b=(1-t)r= r-tr.

Koeff-Vergleich liefert: a=r und a-b = r, also b = 0. Somit:

y=rt

Die Summe "aller" homogenen und der inhomogenen Lösung lautet somit [mm] y_1 [/mm] = [mm] c*e^t+ [/mm] rt, c [mm] \in \IR, [/mm] r wie bei [mm] y_2. [/mm]

Bezug
                
Bezug
DGL System lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Di 13.06.2017
Autor: lapeiluw

Vielen Dank für diese Hinweise. Dann wars ja fast schon komplett gelöst.
Irgendwie dachte ich, ich müsste noch c'(x) aufstellen und dann in die erste Gleichung einsetzen und durch Variation der Konstanten ein konkretes c aufstellen.... Nur wie ich das gemacht hätte, war mir nicht ganz klar.

Nur so, klingts natürlich viel einfacher.

Hm, aber woher weiß ich, wann ich mit dem c(x) noch weiter hantieren muss (VdK) und wann nicht?

Bezug
                        
Bezug
DGL System lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Di 13.06.2017
Autor: HJKweseleit

Die Gleichung y-y'=0 hat nur die Lösungen [mm] c*e^t [/mm] mit c = konstant.

Du musst jetzt aber noch die Anfangsbedingung erfüllen, und dann bleibt für r und c nicht viel Spielraum...

Bezug
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